Miêu tả

Mathematical details

The FLRW metric with two spatial dimensions suppressed is

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dx^{2}}$

where ${\displaystyle a(t_{\text{now}})=1}$. If we flip the sign of the dx term, making the metric Euclidean, it can be embedded isometrically in Euclidean 3-space with cylindrical coordinates ${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ by

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a(t)R\\\phi &=x/R\\z&=\int {\sqrt {c^{2}-a'(t)^{2}R^{2}}}\,dt\end{aligned}}}$

where R is a free parameter. z is only defined when ${\displaystyle |a'(t)|\leq c/R}$, and ${\displaystyle a'(t)}$ goes to infinity for both small and large t in ΛCDM, so a smaller R allows us to embed a larger fraction of the universe's history. On the other hand, with a large R we can embed larger spatial distances, since the embedding curves around on itself at a comoving distance of 2πR.

Ignoring the effects of radiation in the early universe and assuming k = 0 and w = −1, the ΛCDM scale factor is

${\displaystyle a(t)=\left[{\frac {\Omega _{m}}{\Omega _{v}}}\sinh ^{2}\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {\Omega _{v}}}H_{0}t\right)\right]^{\frac {1}{3}}}$

and the WMAP five-year report gives

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{m}&\approx 0.279\\\Omega _{v}&\approx 0.721\\H_{0}&\approx 70.1\ {\text{km}}\ {\text{s}}^{-1}\ {\text{Mpc}}^{-1}\approx 0.0717\ {\text{Gyr}}^{-1}\end{aligned}}}$

(Mpc = megaparsec, Gyr = gigayear). For the embedding above I chose ${\displaystyle R=c/a'(0.7\ {\text{Gyr}})\approx 9\ {\text{Gly}}}$ and a time range of 0.7 Gyr to 18 Gyr. I deliberately cut off the embedding short of a full circle to emphasize that space does not loop back on itself (or, if it does, not at a distance governed by the arbitrary parameter R).

The path of the light ray satisfies ${\displaystyle dx/dt=c/a(t)}$.

Giấy phép

Tôi, người giữ bản quyền của tác phẩm này, chuyển tác phẩm này vào phạm vi công cộng. Điều này có giá trị trên toàn thế giới. Tại một quốc gia mà luật pháp không cho phép điều này, thì: Tôi cho phép tất cả mọi người được quyền sử dụng tác phẩm này với bất cứ mục đích nào, không kèm theo bất kỳ điều kiện nào, trừ phi luật pháp yêu cầu những điều kiện đó.