Toán tử Hamilton

Trong cơ học lượng tử,là toán tử tuyến tính Hermit với đại lượng quan sát năng lượng toàn phần của hê gây nên sự biến đổi theo thời gian, được kí hiệu là H, Ȟ hoặc Ĥ. Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ;

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$

trong đó

${\hat {V}}=V=V({\mathbf {r}},t)$

${\hat {V}}$ là toán tử tuyến tính Hermit với đại lượng quan sát là thế năng.

${\hat {T}}={\frac {{\mathbf {\hat {p}}}\cdot {\mathbf {\hat {p}}}}{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

${\hat {p}}$ là toán tử tuyến tính Hermit với đại lượng quan sát là động lượng.

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$

${\hat {T}}$ là toán tử tuyến tính Hermit với đại lượng quan sát là động năng.

Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger

${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {{\mathbf {\hat {p}} }\cdot {\mathbf {\hat {p}} }}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$