Định lí Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên trong đường tròn
Định lí Ceva (trường hợp 2: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn

Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BECF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:

\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui khi và chỉ khi
\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD}\times\frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle BCF}\times\frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle ABE}=1.

Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni Ceva trong tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678 của Ông.

Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam giác với một điểm nằm ở phía đối diện.

Chứng minh định lí[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử ta có: AD, BECF đồng qui tại một điểm O nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do \triangle BOD\triangle COD có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có

\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}.

Tương tự,

\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}=\frac{BD}{DC}.

Ta suy ra

\frac{BD}{DC}=
\frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}
=\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.

Tương tự,

\frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},

\frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,

(điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm D, EF thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của ADBEO, và gọi giao điểm của COABF'. Theo chứng minh trên,

\frac{AF'}{F'B}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}.

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng AF''+F''B=AF+FB=AB, ta có

\frac{AB}{F'B}=\frac{AB}{FB}.

Do đó F''B=FB, vậy FF'' trùng nhau. Vì vậy AD, BECF=CF'' đồng qui tại O, và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]