Phương trình vi phân Bernoulli

Phương trình vi phân
Phương trình vi phân Navier - Stockes dùng để mô phỏng dòng không khí quanh một vật cản
Phạm vi ứng dụng
Ngành Khoa học tự nhiên Kĩ thuật Thiên văn học Vật lý học Hoá học Sinh học Địa chất học Toán học ứng dụng Cơ học môi trường liên tục Lí thuyết hỗn loạn Hệ thống động lực Khoa học xã hội Kinh tế học Động học quần thể
Phân loại
Loại phương trình vi phân Thường Riêng phần Vi phân – đại số Vi tích phân Rời rạc Tuyến tính Phi tuyến tính Loại biến số Biến phụ thuộc và biến độc lập Tự trị Phức tạp Coupled / Decoupled Chính xác Thuần nhất / Không thuần nhất Các đặc trưng Quy ước Toán tử Kí hiệu
Liên quan đến phương pháp Liên hệ lặp lại Ngẫu nhiên thống kê Ngẫu nhiên thống kê riêng phần Trì hoãn
Lời giải
Tồn tại duy nhất Định lí Picard–Lindelöf Định lí tồn tại Peano Định lí tồn tại của Carathéodory Định lí Cauchy–Kowalevski
Chủ đề chung Wronskian Biểu đồ pha Không gian pha Lyapunov / Cân bằng tiệm cận / Sự cân bằng số mũ Tốc độ hội tụ Series / Integral solutions Tích phân số Hàm delta Dirac
Phương pháp giải Duyệt Phương pháp đặc tính Euler Công thức phản hồi số mũ Finite difference (Crank–Nicolson) Hạn chế phần tử Không hạn chế phần tử Hạn chế thể tích Galerkin Petrov–Galerkin Tích phân nhân tử Biến đổi tích phân Lí thuyết xáo trộn Runge–Kutta Tách biến Hệ số không xác định Biến thiên tham số
Nhà khoa học
Danh sách Isaac Newton Joseph Fourier Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

Trong toán học, một phương trình vi phân được gọi là phương trình vi phân Bernoulli khi nó có dạng

$y'+p(x)y=q(x)y^{n}$

với $n$ là một số thực. Tùy vào các tác giả mà $n$ có thể là số thực bất kì, hoặc là $n$ phải khác 0 và 1. Phương trình này lần đầu tiên được đề cập trong một công trình của Jacob Bernoulli vào năm 1695, sau đó được lấy tên ông. Tuy nhiên, lời giải sớm nhất cho lớp phương trình này lại được công bố bởi Gottfried Leibniz, người đã công bố kết quả của ông cùng năm, và phương pháp giải này vẫn được sử dụng tới ngày nay.

Phương trình vi phân Bernoulli đặc biệt ở chỗ chúng là các phương trình vi phân phi tuyến luôn có nghiệm cụ thể. Một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân Bernoulli là phương trình vi phân hàm logistic.

Trường hợp $n=0$

Nếu $n=0$, phương trình Bernoulli có dạng:

$y'+p(x)y=q(x)$

Nếu q(x) = 0, thì đây là một phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

Nếu q(x) ≠0, thì đây là một là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.

Cách giải

2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:

Nhân 2 vế của (1) với thừa số $e^{P(x)}$

Ta được: $e^{P(x)}y'+q(x)e^{P(x)}y=q(x)e^{P(x)}$

ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

${\frac {d}{dx}}\left(e^{P(x)}y\right)=q(x)e^{P(x)}$

Lấy tích phân hai vế ta được:

$e^{Q(x)}y=\int p(x)e^{Q(x)}\,dx$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: $y=e^{-P(x)}\left(C+\int q(x)e^{P(x)}\,dx\right)$

Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y' bằng 1.

2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)

Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:$y=u(x)v(x)$

Ta có: $y'=u'v+v'u$

Thế vào phương trình ta có:$(u'v+v'u)+p(x)(uv)=q(x)$

Hay: $(u'+p(x)u)v+v'u=q(x)(*)$

Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u', v' nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình $(*)$, ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.

Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho  $u'+p(x)u=0(**)$

Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:

${\frac {du}{u}}=-p(x)dx\Rightarrow u(x)=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Chọn C = 1 ta có:$u(x)=e^{-\int p(x)\,dx}$

Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:

$v'={\frac {q(x)}{u(x)}}=q(x)e^{\int p(x)\,dx}\Rightarrow v(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}$

Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

$y=e^{-\int p(x)\,dx}\left(C+\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\right)$

2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange (pp biến thiên hằng số)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng $y=u(x)v(x)$ với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.

Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: $u(x)=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: $y=e^{-\int p(x)\,dx}v(x)$ chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).

Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:

Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:

$y=Ce^{-\int p(x)\,dx}$

Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:

$y=e^{-\int p(x)\,dx}v(x)$

Ta có:$y'=v'e^{-\int p(x)\,dx}-v(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}$

Thế vào phương trình ta có:

$v'e^{-\int p(x)\,dx}-v(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)v(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)$

Suy ra: $v'=q(x)e^{\int p(x)\,dx}$ . Từ đó tìm được v(x).

Nhận xét:

Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v'(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót

3. Phương trình Bernoulli:

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng tổng quát:$y'+p(x)y=q(x)y^{n}$

Cách giải:

Nhân 2 vế của phương trình cho $(1-n)y^{-n}$ Ta có:

$(1-n)y'y^{-n}+(1-n)p(x)y^{1-n}=(1-n)q(x)$

Khi đó, ta đặt: $u=y^{1-n}$ . Ta có: $u'=(1-n)y^{-n}y'$

Thế vào phương trình (4′) ta có:  

$u'+(1-n)p(x)u=(1-n)q(x)$

Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với u là hàm theo biến x. Từ đây ta giải theo những cách ở trên

Liên kết ngoài

• https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/ptvp-tuyen-tinh-cap-1/