Định lý Fuhrmann

Trong hình học Euclid, định lý Fuhrmann phát biểu như sau: Cho lục giác lồi $ABCDEF$ nội tiếp^[1]^[2]. Khi đó: $AD.BE.CF=AB.CD.EF+AF.BC.DE+AB.DE.CF+BC.EF.AD+CD.AF.BE$

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Fuhrmann được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ptoleme cho các tứ giác ABDE, BCDF, ADEF, ABEF

$AD.BE=AB.DE+AE.BD$ ,

$BD.CF=BC.DF+BF.CD$ ,

$AE.DF=AD.EF+AF.DE$ ,

$AE.BF=AB.EF+AF.BE$ .

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với $CF$ , chúng ta có: $AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BD.CF.$

Tiếp theo chúng ta thay thế BD.CF bởi $BC.DF+BF.CD$ trong hệ số thứ hai ở vế phải ta có: $AD.BE.CF=AB.DE.CF+AE.BC.DF+AE.BF.CD.$

Sử dụng phương trình thứ ba và bốn ta thay thế $AE.DF$ bởi $AD.EF+AF.DE$ , và $AE.BF$ bởi $AB.EF+AF.BE$ . Định lý được chứng minh.^[3]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.
^ Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.
^ Fuhrmann's theorem

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Fuhrmann's Theorem tại MathWorld

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[1] Fuhrmann, W. Synthetische Beweise Planimetrischer Sätze. Berlin, p. 61, 1890.

[2] Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 65-66, 1929.

[3] Fuhrmann's theorem

[1]

[2]

[3]