Định lý Heine-Borel

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard HeineÉmile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con của không gian Euclide compact khi và chỉ khiđóngbị chặn hoàn toàn.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử compact. Vì là không gian Hausdorff nên đóng. Lấy một họ

các phủ mở của . Vì compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có sao cho . Nên, với hai điểm bất kỳ của , ta có . Vậy bị chặn.

Ngược lại, nếu đóng và bị chặn, giả sử với mọi . Cố định một điểm của , đặt . Khi đó, với mọi thì

.

Đặt , thì là tập con của , là tập compact. Vì đóng nên cũng compact.

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]