Định lý Helly

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lý Helly cho hình học phẳng: nếu trong một gia đình các tập hợp lồi, giao của mọi bộ ba tập đều khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng

Định lý Helly là một kết quả cơ bản trong hình học rời rạc về giao của các tập hợp lồi. Nó được phát hiện bởi Eduard Helly năm 1913,[1] nhưng chỉ được xuất bản năm 1923, khi các chứng minh khác của Radon (1921)König (1922) đã được đăng. Định lý Helly đưa ra khái niệm gia đình Helly.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử

là các tập hợp lồi trong , trong đó . Nếu giao của mọi bộ tập là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng, nghĩa là

Để áp dụng cho một số vô hạn các tập hợp cần có thêm tính chất compact: Nếu là các tập hợp lồi compact trong và giao của mọi bộ không quá tập là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Ta chứng minh phiên bản hữu hạn của định lý thông qua định lý Radon như trong chứng minh của Radon (1921). Từ đó ta có phiên bản vô hạn thông qua tính chất giao hữu hạn của không gian compact: giao của một gia đình các tập hợp là khác rỗng khi và chỉ khi mọi bộ hữu hạn các tập trong gia đình đó có giao khác rỗng.

Trước hết giả sử . Theo giả thuyết của định lý, tồn tại điểm nằm trong giao của

Tương tự như vậy, với mọi

tồn tại điểm nằm trong giao của mọi ngoại trừ . Ta áp dụng định lý Radon cho tập

Theo định lý Radon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau sao cho bao lồi của giao với bao lồi của . Giả sử là điểm nằm trong phần giao của hai bao lồi. Ta sẽ chứng minh

Thật vậy, xét bất kì. Phần tử duy nhất trong có thể không nằm trong . Nếu , thì , và do đó . Do lồi, nó cũng chứa bao lồi của và do đó . Tương tự như vậy, nếu , thì , và lập luận tương tự như trên, ta có . Do nằm trong mọi , nó nằm trong giao của chúng.

Ở trên ta giả sử là các điểm khác nhau. Nếu điều này không đúng, chẳng hạn cho hai số nào đó, thì nằm trong mọi tập , và ta cũng kết luận giao của tất cả các tập hợp là khác rỗng. Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp .

Giả sử và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho . Chứng minh trên cho thấy mọi bộ tập có giao khác rỗng. Ta xét một gia đình các tập hợp mới trong đó được thay bằng

Trong gia đình mới này, giao của mọi bộ tập là khác rỗng. Theo giả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng. Do đó, giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng khác rỗng.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]