0,999...

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ 0,999)
Bước tới: menu, tìm kiếm
999 Perspective.svg

Trong toán học, số thập phân tuần hoàn 0,999... hay còn được viết hoặc là một số thực bằng 1. Nói cách khác: ký hiệu 0,999...1 đều thể hiệu cùng một số thực. Điều này đã được nhiều giáo sư toán học trên thế giới công nhận và được giảng dạy trong nhiều sách giáo khoa[1][2][3][4]. Nhiều cách chứng minh khác nhau đã được trình bày, dựa vào nhiều phép tính toán trên các số thực, các kiến thức đã được công nhận và tùy theo mục đích của người đọc. Trong thực tế, số thực có thực có thể được đại diện bởi một dãy số thập phân vô hạn và sự thực này mới nhìn giống như một nghịch lý. Điều này có thể tránh được với nhiều hệ thống số hay cách biểu diễn số khác như vi phân: một đại lượng biến thiên nhỏ vô cùng luôn chạy về 0 nhưng không bao giờ bằng 0, số p-adic.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều cách để chứng minh điều này: vận dụng các kiến thức số học, đại số, giải tích, chuỗi vô hạn, vận dụng chia khoảng và tính bị chặn, dựa vào cấu trúc của các số thực, dãy Cauchy... Dưới đây là các cách đơn giản nhất.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số và phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có:

Một phiên bản rút gọn khác là

Cả hai phép chứng minh đều cho thấy giá trị của 0,999... phải bằng 1. Đơn giản hơn, ta có 3/3 = 1, và 3/3 = 0,999…. Do đó, 0,999… phải bằng 1.

Biến đổi số học[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt:

Vấn đề liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Con rùa bò trước chàng lực sĩ Asin. Dù Asin chạy rất nhanh nhưng không bao giời đuổi kịp rùa vì mỗi lần chàng đến nơi rùa đã đến thì nó đã kịp bò một đoạn. Do đó dù khoảng cách giữa chàng và rùa ngày càng rút ngắn nhưng Asin vẫn không theo kịp rùa. Điều này có thể giải quyết đơn giản bằng cách tìm giới hạn của tổng vô hạn các số dãy số có cấp số lớn hơn 0 và bé hơn 1. Ví dụ:

Tổng vô hạn các số hạng trong dãy số:

Nếu công nhận số có thể chia cho 0 và thì sẽ xảy ra nhiều nghịch lý. Ví dụ:

một con số tồn tại trong máy tính, phát sinh do một số phương pháp biểu diễn số nguyên âm và hầu hết các phương pháp biểu diễn số chấm động (floating point). Toán học không có định nghĩa tương đương về số âm không, do đó, −0 và 0 là hoàn toàn như nhau. Trong các khoa học khác, −0 có thể được sử dụng để biểu thị một số lượng nhỏ hơn không, nhưng không đáng kể, nên không thể làm tròn thành một con số có nghĩa.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Alligood, Sauer, and Yorke (1996). “4.1 Cantor Sets”. Giới thiệu về hệ thống thập phân. Springer. ISBN 0-387-94677-2. 
  2. ^ Apostol, Tom M. (1974). Giải tích toán học . Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4. 
  3. ^ Bartle, R.G. and D.R. Sherbert (1982). Giới thiệu giải tích toán học. Wiley. ISBN 0-471-05944-7. 
  4. ^ Beals, Richard (2004). Giải tích. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2. 

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]