Số thực

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm
Kí hiệu tập hợp số thực (ℝ)

Trong toán học, một số thực là một giá trị của một đại lượng liên tục có thể biểu thị một khoảng cách dọc theo một đường thẳng. Tính từ thực trong bối cảnh này được giới thiệu vào thế kỷ 17 bởi René Descartes, người phân biệt giữa nghiệm thực và ảo của đa thức. Các số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên −5 và phân số 4/3 và tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như √ 2 (1.41421356..., căn bậc hai của 2, số đại số vô tỷ). Bao gồm trong các số vô tỷ là các số siêu việt, chẳng hạn như số π (3.14159265...). Ngoài việc đo khoảng cách, số thực có thể được sử dụng để đo các đại lượng như thời gian, khối lượng, năng lượng, vận tốc và nhiều đại lượng khác.

Các số thực có thể được coi là các điểm trên một dòng dài vô hạn gọi là trục số, trong đó các điểm tương ứng với các số nguyên cách đều nhau. Bất kỳ số thực nào cũng có thể được xác định bằng cách biểu diễn thập phân vô hạn, chẳng hạn như số 8.632, trong đó mỗi chữ số liên tiếp được tính bằng một phần mười giá trị của số trước. Trục số thực có thể được coi là một phần của mặt phẳng phứccác số phức cũng bao gồm các số thực.

Số thực có thể được coi là điểm trên một trục số dài vô hạn

Những mô tả về các số thực không đủ nghiêm ngặt theo các tiêu chuẩn hiện đại của toán học thuần túy. Việc phát hiện ra một định nghĩa phù hợp nghiêm ngặt về các con số thực sự, thực tế, việc nhận ra rằng một định nghĩa tốt hơn là cần thiết là một trong những phát triển quan trọng nhất của toán học thế kỷ 19. Định nghĩa tiên đề theo tiêu chuẩn hiện tại là các số thực tạo thành trường có thứ tự hoàn chỉnh Dedekind (R; +; ·; <), cho đến một đẳng cấu, [a] trong khi các định nghĩa xây dựng phổ biến của các số thực bao gồm khai báo chúng là tương đương các lớp trình tự Cauchy của các số hữu tỷ, cắt Dedekind hoặc biểu diễn thập phân vô hạn, cùng với các diễn giải chính xác cho các phép toán số học và quan hệ thứ tự. Tất cả các định nghĩa này đáp ứng định nghĩa tiên đề và do đó là tương đương.

Tập hợp tất cả các số thực là không thể đếm được; nghĩa là: trong khi tập hợp tất cả các số tự nhiên và các tập hợp của tất cả các số thực đều là các tập hợp vô hạn, không thể có hàm đơn ánh từ những số thực tới các số tự nhiên: lực lượng của tập hợp của tất cả các số thực (được gọi là lực lượng của continuum) lớn hơn nhiều so với lực lượng của tập hợp tất cả các số tự nhiên. Tuyên bố rằng không có tập hợp con của số thực với số lượng lớn hơn tập hợp số tự nhiên và hoàn toàn nhỏ hơn tập hợp số thực được gọi là giả thuyết continuum (CH). Giả thuyết này được biết là không thể chứng minh được và cũng không thể bác bỏ được bằng cách sử dụng các tiên đề của lý thuyết tập hợp Zermelo Muff Fraenkel bao gồm tiên đề chọn (ZFC), nền tảng tiêu chuẩn của toán học hiện đại, theo nghĩa một số mô hình của ZFC thỏa mãn CH, trong khi các mô hình khác vi phạm nó.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Các số thực (ℝ) bao gồm các số hữu tỷ (ℚ), bao gồm các số nguyên (ℤ), bao gồm các số tự nhiên (ℕ)

Phân số đơn giản được sử dụng bởi người Ai Cập khoảng 1000   BC; trong "Kinh điển Sulba " Vệ đà ("Các quy tắc của hợp âm"), c. 600 BC, bao gồm những gì có thể được gọi là "việc sử dụng" đầu tiên của số vô tỷ. Khái niệm về số vô tỷ đã được các nhà toán học Ấn Độ đầu tiên chấp nhận một cách ngầm định kể từ Manava (c. 750–690 BC), những người nhận thức được rằng căn bậc hai của một số số nhất định như 2 và 61 không thể được xác định chính xác.[1] Khoảng 500 TCN, các nhà toán học Hy Lạp do Pythagoras làm lãnh đạo nhận ra sự cần thiết của các số vô tỷ, đặc biệt là sự vô tỷ của căn bậc hai của 2.

Thời Trung cổ đã đưa ra sự chấp nhận các số 0, âm, số nguyênphân số, đầu tiên bởi các nhà toán học Ấn ĐộTrung Quốc, và sau đó là các nhà toán học Ả Rập, những người đầu tiên coi các số vô tỷ là các đối tượng đại số,[2] nhờ sự phát triển của môn đại số. Các nhà toán học Ả Rập đã hợp nhất các khái niệm " số " và " độ lớn " thành một ý tưởng tổng quát hơn về các số thực.[3] Nhà toán học Ai Cập Abū Kamil Shuja ibn Aslam (c. 850–930) là người đầu tiên chấp nhận số vô tỉ như các nghiệm của phương trình bậc hai hoặc như hệ số trong một phương trình, thường ở dạng của căn bậc hai, căn bậccăn bậc bốn.[4]

Vào thế kỷ 16, Simon Stevin đã tạo ra cơ sở cho ký hiệu thập phân hiện đại và nhấn mạnh rằng không có sự khác biệt giữa các số hữu tỷ và số vô tỷ trong vấn đề này.

Vào thế kỷ 17, Descartes đã giới thiệu thuật ngữ "thực" để mô tả nghiệm của một đa thức, phân biệt chúng với những nghiệm "ảo".

Trong thế kỷ 18 và 19, có nhiều công trình về những số vô tỷ và số siêu việt. Johann Heinrich Lambert (1761) đã đưa ra chứng minh sai đầu tiên rằng π không thể là số hữu tỷ; sau đó Adrien-Marie Legendre (1794) đã hoàn thành chứng minh này,[5] và cho thấy rằng π không phải là căn bậc hai của một số hữu tỷ.[5] Paolo Ruffini (1799) và Niels Henrik Abel (1842) đều đã chứng minh thành công định lý Abel-Ruffini: nội dung là phương trình bậc 5 hoặc cao hơn không thể được giải quyết bằng một công thức chung chỉ gồm các phép toán cộng trừ nhân chia và khai căn.

Évariste Galois (1832) đã phát triển các kỹ thuật để xác định liệu một phương trình đã cho có thể được giải bằng phép khai căn, điều này đã tạo ra lĩnh vực của lý thuyết Galois. Joseph Liouville (1840) đã chỉ ra rằng cả ee2 đều không thể là nghiệm số của một phương trình bậc hai có hệ số nguyên, và sau đó thiết lập sự tồn tại của các số siêu việt; Georg Cantor (1873) đã mở rộng và đơn giản hóa rất nhiều chứng minh này.[3] Charles Hermite (1873) lần đầu tiên chứng minh rằng e là số siêu việt, và Ferdinand von Lindemann (1882), chứng minh rằng π là siêu việt. Chứng minh của Lindemann đã được Weierstrass (1885) đơn giản hóa, và tiếp tục được David Hilbert (1893) đơn giản hóa tiếp, và cuối cùng đã được Adolf Hurwitz [6]Paul Gordan đơn giản hóa đến mức độ đại số sơ cấp.[7]

Sự phát triển của vi tích phân trong thế kỷ 18 đã sử dụng toàn bộ tập hợp các số thực mà không xác định chúng rõ ràng. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên của số thực được Georg Cantor công bố vào năm 1871. Năm 1874, ông chứng minh rằng tập hợp tất cả các số thực là vô hạn không đếm được nhưng tập hợp tất cả các số đại sốvô hạn đếm được. Trái với niềm tin rộng rãi, phương pháp chứng minh đầu tiên của ông không phải là lập luận đường chéo nổi tiếng của ông, mà ông đã xuất bản năm 1891. Xem bằng chứng không thể đếm được đầu tiên của Cantor.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ thống số thực có thể được định nghĩa theo tiên đề qua một đẳng cấu, sẽ được mô tả sau đây. Cũng có nhiều cách để xây dựng "hệ thống" số thực, ví dụ, bắt đầu từ số tự nhiên, sau đó xác định số hữu tỉ theo đại số và cuối cùng xác định số thực là các lớp tương đương của chuỗi Cauchy của chúng hoặc như cắt Dedekind, mà là các tập con nhất định của số hữu tỉ. Một khả năng khác là bắt đầu từ một số tiên đề nghiêm ngặt của hình học Euclide (Hilbert, Tarski, v.v.) và sau đó xác định hệ thống số thực về mặt hình học. Tất cả các cấu trúc của các số thực đã được chứng minh là tương đương, do các hệ thống số kết quả của các định nghĩa khác nhau là đẳng cấu với nhau.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các tính chất cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bất kỳ số thực khác khôngsố âm hoặc số dương.
  • Tổng và tích của hai số thực không âm cũng là một số thực không âm, nghĩa là chúng được đóng trong các phép toán này và tạo thành một vành số dương, từ đó tạo ra một thứ tự tuyến tính của các số thực dọc theo một trục số.
  • Những số thực tạo nên một tập hợp vô hạn các số mà không thể được đơn ánh tới tập hợpvô hạn của các số tự nhiên, tức là có vô cùng nhiều không đếm được các số thực, trong khi các số tự nhiên được gọi là tập hợp vô hạn đếm được. Điều này chứng tỏ rằng trong một số ý nghĩa, có nhiều số thực hơn so với các phần tử trong bất kỳ tập hợp đếm được nào.
  • Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của các số thực, ví dụ: số nguyên, số hữu tỷ, số đại số và số tính được, mỗi tập hợp là một tập hợp con thực sự của tập hợp tiếp theo. Các phần bù của tất cả các tập hợp này (số thực vô tỷ, số siêu việt và số không tính toán được) đối với các số thực, đều là các tập hợp vô hạn không đếm được.
  • Số thực có thể được sử dụng để thể hiện các phép đo đại lượng liên tục. Chúng có thể được biểu thị bằng các biểu diễn thập phân, hầu hết chúng có một chuỗi các chữ số vô hạn ở bên phải dấu thập phân; chúng thường được biểu diễn như 324.823122147..., trong đó dấu chấm lửng (ba dấu chấm) chỉ ra rằng vẫn còn nhiều chữ số nữa sẽ xuất hiện. Điều này gợi ý cho thực tế rằng chúng ta chỉ có thể biểu thị chính xác một vài số thực được chọn với một số hữu hạn chữ số.

Chính thức hơn, các số thực có hai thuộc tính cơ bản là trường có thứ tự và có thuộc tính cận trên thấp nhất. Thuộc tính đầu tiên nói rằng các số thực bao gồm một trường, với phép cộng và phép nhân cũng như phép chia cho các số khác không, có thể được sắp xếp hoàn toàn trên một trục số theo cách tương thích với phép cộng và phép nhân. Thuộc tính thứ hai nói rằng, nếu một tập hợp các số thực không trống có giới hạn trên, thì nó có cận trên là số thực nhỏ nhất. Điều kiện thứ hai phân biệt các số thực với các số hữu tỷ: ví dụ: tập hợp các số hữu tỷ có bình phương nhỏ hơn 2 là tập hợp có giới hạn trên (ví dụ 1,5) nhưng không có cận trên tối thiểu (là số hữu tỷ): do đó các số hữu tỷ không đáp ứng các tính chất có cận trên nhỏ nhất.

Các phép toán[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép cộng: Trên , phép cộng được xây dựng bởi ánh xạ sau:
: Phép cộng là đóng trên

Sao cho:

Có thể thấy phép cộng xác định như trên là tồn tại và duy nhất.

Ngoài ra, ta còn có thể chứng minh được rằng:

Giá trị tuyệt đối[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Giá trị tuyệt đối

Các tập hợp số[sửa | sửa mã nguồn]

Tập hợp số thực
: Tập hợp số tự nhiên (Natural numbers)
: Tập hợp số nguyên (Integers)
: Tập hợp số hữu tỉ (Rational numbers)
: Tập hợp số vô tỉ (Irrational numbers)
: Tập hợp số thực (Real numbers)

Ngoài ra, một số thực có thể là số đại số hoặc số siêu việt.

Tập hợp số thực là tập hợp con của số phức , khi hệ số

Các tập hợp con trên Tập hợp các số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng:

Ví dụ:

Đoạn:

Nửa khoảng:

Chú ý:

∞ đọc là vô cực.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ More precisely, given two complete totally ordered fields, there is a unique isomorphism between them. This implies that the identity is the unique field automorphism of the reals that is compatible with the ordering.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Chú thích trống (trợ giúp) 
  2. ^ O'Connor, John J.; Edmund F. Robertson, “Số thực”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews 
  3. ^ a ă Chú thích trống (trợ giúp) 
  4. ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Chú thích trống (trợ giúp) 
  5. ^ a ă Chú thích trống (trợ giúp) .
  6. ^ Hurwitz, Adolf (1893). “Beweis der Transendenz der Zahl e”. Mathematische Annalen: 134–35. 
  7. ^ Gordan, Paul (1893). “Transcendenz von e und π”. Mathematische Annalen 43: 222–24. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]