Đây là một bài viết cơ bản. Nhấn vào đây để biết thêm thông tin.

Giải tích toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Khu Lưu trữ 2020-09-29 tại Wayback Machine vực hấp dẫn kỳ lạ phát sinh từ một phương trình vi phân. Phương trình vi phân là một lĩnh vực quan trọng của phân tích toán học với nhiều ứng dụng cho khoa họckỹ thuật.

Giải tích toán học là nhánh của toán học liên quan đến giới hạn và các lý thuyết liên quan, chẳng hạn như đạo hàm, tích phân, đo lường, chuỗi vô hạncác hàm giải tích.[1][2]

Những lý thuyết này thường được nghiên cứu trong bối cảnh của các số và hàm số thựcsố phức. Giải tích phát triển từ vi tích phân, liên quan đến các khái niệm và kỹ thuật giải tích cơ bản. Giải tích có thể được phân biệt với hình học; tuy nhiên, nó có thể được áp dụng cho bất kỳ không gian nào của các đối tượng toán học có định nghĩa về độ gần (không gian tôpô) hoặc khoảng cách cụ thể giữa các đối tượng (không gian metric).

Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả. Nó được thiết lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là "ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp. Giải tích có một cách gọi phổ thông hơn là phương pháp tính.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Lưu trữ 2020-09-29 tại Wayback MachineArchimedes đã sử dụng phương pháp vét kiệt để tính diện tích bên trong hình tròn bằng cách tìm diện tích của đa giác đều có càng ngày càng nhiều cạnh. Đây là một ví dụ sơ khai và không chính thức về giới hạn. Giới hạn là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong giải tích toán học.
Nhà bác học Isaac Newton là một trong những người đóng góp nhiều nhất vào sự phát triển của giải tích.

Giải tích toán học chính thức được phát triển vào thế kỷ 17 trong cuộc Cách mạng Khoa học,[3] nhưng nguồn gốc ý tưởng được bắt nguồn từ các nhà toán học trước đó. Các kết quả toán học liên quan tới giải tích đã xuất hiện trong thời kỳ đầu của toán học Hy Lạp cổ đại, nhưng họ đã không nhận ra điều đó. Ví dụ, một tổng hình học vô hạn được ngầm hiểu trong nghịch lý phân đôi của Zeno.[4] Sau đó, các nhà toán học Hy Lạp như EudoxusArchimedes đã sử dụng các khái niệm giới hạn và hội tụ một cách rõ ràng hơn, nhưng không chính thức hơn khi họ sử dụng phương pháp vét kiệt để tính diện tích của các vùng và thể tích của vật rắn. [5] Việc sử dụng rõ ràng các số ít vô cực xuất hiện trong Phương pháp Định lý Cơ học của Archimedes, một công trình được phát hiện lại vào thế kỷ 20.[6] Ở châu Á, nhà toán học Trung Quốc Lưu Huy đã sử dụng phương pháp vét kiệt vào thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên để tìm diện tích hình tròn.[7] Tổ Xung Chi đã thiết lập một phương pháp mà sau này được gọi là nguyên lý Cavalieri để tìm thể tích của một hình cầu vào thế kỷ thứ 5.[8] Vào thế kỷ 12, nhà toán học Ấn Độ Bhāskara II đã đưa ra các ví dụ về đạo hàm và sử dụng định lý mà ngày nay được gọi là định lý Rolle.[9]

Trong thế kỷ 14, Madhava của Sangamagrama đã phát triển chuỗi vô hạn mở rộng, giống như chuỗi lũy thừachuỗi Taylor, các hàm như sin, cosin, tanarctan.[10] Cùng với việc phát triển chuỗi Taylor của các hàm lượng giác, ông cũng ước tính độ lớn của các số hạng sai số được tạo ra bằng cách cắt ngắn các chuỗi này và đưa ra giá trị xấp xỉ hợp lý của một chuỗi vô hạn. Những người theo học ông tại Trường phái Thiên văn và Toán học Kerala đã mở rộng thêm các công trình của ông cho đến thế kỷ 16.

Các cơ sở hiện đại của giải tích toán học đã được xác lập ở châu Âu thế kỷ 17.[3] DescartesFermat đã phát triển hình học giải tích một cách độc lập với nhau, và một vài thập kỷ sau NewtonLeibniz đã độc lập phát triển vi tích phân, và vi tích phân đã phát triển với các ứng dụng tiếp tục cho đến thế kỷ 18. Các ứng dụng này tập trung vào các chủ đề giải tích như tính toán các biến phân, phương trình vi phân thông thườngriêng phần, giải tích Fourierhàm sinh. Trong thời kỳ này, kỹ thuật giải tích được áp dụng cho các bài toán rời rạc bằng cách thay thế gần đúng bằng các bài toán với các hàm liên tục.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Edwin Hewitt and Karl Stromberg, "Real and Abstract Analysis", Springer-Verlag, 1965
  2. ^ Stillwell, John Colin. “analysis | mathematics”. Encyclopædia Britannica. Truy cập ngày 31 tháng 7 năm 2015.
  3. ^ a b Jahnke, Hans Niels (2003). A History of Analysis. American Mathematical Society. tr. 7. ISBN 978-0-8218-2623-2.
  4. ^ Stillwell (2004). “Infinite Series”. Mathematics and its History (ấn bản 2). Springer Science + Business Media Inc. tr. 170. ISBN 978-0-387-95336-6. Infinite series were present in Greek mathematics, [...] There is no question that Zeno's paradox of the dichotomy (Section 4.1), for example, concerns the decomposition of the number 1 into the infinite series 12 + 122 + 123 + 124 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 14 + 142 + 143 + ... = 43. Both these examples are special cases of the result we express as summation of a geometric series
  5. ^ Smith 1958.
  6. ^ Pinto, J. Sousa (2004). Infinitesimal Methods of Mathematical Analysis. Horwood Publishing. tr. 8. ISBN 978-1-898563-99-0.
  7. ^ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonné (1966). A comparison of Archimedes' and Liu Hui's studies of circles. Chinese studies in the history and philosophy of science and technology. 130. Springer. tr. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7., Chapter, p. 279
  8. ^ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. (2009). Calculus: Early Transcendentals (ấn bản 3). Jones & Bartlett Learning. tr. xxvii. ISBN 978-0-7637-5995-7.
  9. ^ Chú thích trống (trợ giúp)
  10. ^ Rajagopal, C.T.; Rangachari, M.S. (tháng 6 năm 1978). “On an untapped source of medieval Keralese Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences. 18: 89–102. doi:10.1007/BF00348142 (không hoạt động ngày 10 tháng 9 năm 2020).Quản lý CS1: DOI không hoạt động tính đến 2020 (liên kết)