Đạo hàm

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong giải tích toán học, đạo hàm của một hàm số thực là sự mô tả sự biến thiên của hàm số tại một điểm nào đó. Cùng với tích phân, một phép toán ngược lại, đạo hàm là một trong hai khái niệm cơ bản trong giải tích.

Đạo hàm có biểu diễn hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm của hàm số một biến số[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số biến số thực y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) (khoảng (a;b) = \{x \in \mathbb R | a <x< b \}). Xét giá trị x_0 \in (a;b) và giá trị x \in (a; b), x \ne x_0.

Đặt Δx = xx0 thì x = x0x. Δx được gọi là số gia đối số.

Đặt Δy = f(x)-f(x0). Δy được gọi là số gia hàm số.

Xét tỷ số \frac {\Delta y}{\Delta x}. Nếu khi Δx→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 kí hiệu là  f' (x)\,\! hay \dot f(x)\,\!

 f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Ví dụ, cho hàm số y=x2. Xét điểm x0 bất kỳ, và xx0. Xét giới hạn của tỷ số

\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x_0+\Delta x)^2-{x_0}^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {2\cdot x_0\cdot\Delta x+{\Delta x}^2}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (2\cdot x_0+\Delta x)
= 2 x0

Khi x0 thay đổi, ta ký hiệu tổng quát f'(x)= 2x.

Cho hàm số y=x. Xét điểm x0 bất kỳ, và xx0. Xét giới hạn của tỷ số

\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x_0+\Delta x)-{x_0}}{\Delta x}
=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} 1
= 1

Vậy f'(x0)=1.

Một số quy tắc cơ bản của cách tính đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Untitledbbb.png

Đạo hàm của một số hàm số cơ bản, thường gặp[sửa | sửa mã nguồn]

Dao ham co ban thuong gap.png

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]