| Bài viết hoặc đoạn này cần người am hiểu về chủ đề này trợ giúp biên tập mở rộng hoặc cải thiện. Bạn có thể giúp cải thiện trang này nếu có thể. Xem trang thảo luận để biết thêm chi tiết. |
Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.
Sơ lược về không gian định chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]
Cho E là không gian vectơ trên trường số
và ánh xạ
Ta nói
là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:
,
nếu x là 1 vector.


Nếu
là chuẩn trên E, ta nói
là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
[1]
Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức:
và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.
- Không gian
với các metric:

2
2
1/2

lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

2
2
1/2

- Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn
sau;
Khi p=1;

Khi
;

Khi
;

- Không gian các hàm liên tục f từ
vào
và khả tích với chuẩn
sau;
Khi n=1;

Khi
;

Khi
;

Trong đó

,

Một không gian định chuẩn được trang bị một cấu trúc tô-pô với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như đóng, mở, trù mật,...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.
Tính chất
- Một không gian định chuẩn là một không gian tô-pô liên thông, Hausdorff, không compact.
- Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian compact địa phương.
Các định nghĩa, định lý liên quan khác[sửa | sửa mã nguồn]
Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric[sửa | sửa mã nguồn]
Cho
là không gian mêtric, ta nói chuẩn
tạo bởi metric
tức là:
,

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.
Cho
là không gian định chuẩn;
và
.
- Khi đó ta gọi
và
lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm
bán kính r trong
[2]
Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật[sửa | sửa mã nguồn]
Cho
là không gian định chuẩn;
và
.
Ta nói:
là tập mở trong
nếu có họ các quả cầu mở
trong
sao cho:
.
là tập đóng trong
nếu
là tập mở trong
.
là tập bị chặn trong
nếu có quả cầu đóng
trong
sao cho:
.[3]
là tập trù mật trong
nếu
[4]
Cho
là tập con trong không gian định chuẩn
và
.
Ta nói:
liên tục tại
nếu
,
sao cho
,
,
liên tục trên
nếu
liên tục tại mọi
[5]
Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:
liên tục trên
nếu và chỉ nếu với mọi tập mở
trong
có tập mở
trong
sao cho
[6]
Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.
Đặt
;
và cho
.
Khi đó
là dãy trong
.
Dãy
là dãy hội tụ về
trong
nếu và chỉ nếu:
, ta tìm được
sao cho 
Lúc đó,
là giới hạn của dãy
.
Dãy
là dãy Cauchy trong
nếu và chỉ nếu:
, ta tìm được
sao cho 
Nếu dãy
là dãy hội tụ trong
thì nó sẽ Cauchy trong
.
Nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn
thì
là không gian Banach.[7]
Ví dụ:
Dãy
trong
\0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong
\ 0 với không gian định chuẩn
(
).
Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau:
Cho 2 chuẩn
trên cùng không gian vectơ E.
Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại
sao cho:

với mọi
[8]
Ví dụ
Với các chuẩn sau trên
sau:



trong đó
. Ta có:

Phạm trù các không gian định chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]
Các ánh xạ quan trọng nhất giữa hai không gian định chuẩn là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn
và
được ký hiệu là
. Không gian định chuẩn cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục lập thành một phạm trù.
Ta cũng có phạm trù các không gian Banach (là một phạm trù con đầy của phạm trù các không gian định chuẩn).
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, trang 9
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.8, trang 11
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 11
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.9, trang 12
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định nghĩa 1.11, trang 13
- ^ Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 13
- ^ ương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10
- ^ Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008, trang 55
- Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
- Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005
- Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology [1] Lưu trữ 2014-02-03 tại Wayback Machine. Ho Chi Minh city University of Science