Dãy Cauchy

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(a) Đồ thị của một dãy Cauchy được tô màu xanh, biểu diễn theo . Nếu không gian chứa dãy là đầy đủ thì "điểm đến cuối cùng" của dãy này (tức là giới hạn) là tồn tại.
(b) Một dãy không là dãy Cauchy. Các phần tử của dãy không thể gần nhau một cách tùy ý khi dãy tiếp tục.

Dãy Cauchy hay dãy cơ bản là một dãy trong một không gian mêtric (hoặc không gian định chuẩn) X sao cho với mọi tồn tại để với mọi m,n>n0 thì

Tiêu chuẩn Cauchy cho dãy[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử dãy (xn) thuộc một không gian Banach. Khi đó ta có:

Dãy (xn) hội tụ khi và chỉ khi (xn) là dãy Cauchy, i.e (có nghĩa là) Với mọi ɛ (epsilon) dương, bé tùy ý cho trước, luôn tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m,n lớn hơn N ta có |xn - xm| < ɛ

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

  • Mọi dãy cơ bản là bị chặn
  • Nếu dãy cơ bản Un có một dãy con hội tụ tới giới hạn b thì dãy Un cũng hội tụ tới b.

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý về sự hội tụ của dãy:

Dãy số thực {Un} hội tụ trong R khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản

Ý nghĩa của định lý này là khi khảo sát sự hội tụ, chỉ cần căn cứ vào quy luật biến thiên của dãy.

Kể từ một lúc nào đó trở đi hai phần tử bất kỳ gần nhau bao nhiêu cũng được.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]