Giai thừa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
15 1307674368000
20 2432902008176640000
25 &300009226-6000000.0000001,5511210043×1025
50 &0000000000000000.0000003,0414093202×1064
70 &0000000000000000.0000001,1978571670×10100
100 &0000000000000000.0000009,3326215444×10157
171 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng1,2410180702×10309
450 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng1,7333687331×101.000
1000 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng4,0238726008×102.567
3249 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng6,4123376883×1010.000
10000 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng2,8462596809×1035.659
25206 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng1,2057034382×10100.000
100000 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng2,8242294080×10456.573
205023 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng2,5038989317×101.000.004
1000000 &Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng8,2639316883×105.565.708
&0000000000000000.0000001,0248383838×1098 10&0000000000000000.0000001,0000000000×10100
&0000000000000000.0000001,0000000000×10100 10&0000000000000000.0000009,9565705518×10101
&Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng1,7976931349×10308 10&Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng5,5336665775×10310
Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

  1. 0! = 1
  2. (n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Ví dụ: 3! = 2! x 3 = 6 (mà 2! = 2)

Một số tính chất của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (abc) có cùng cơ số và mũ.
  2. (Công thức Stirling).

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

  • Công thức tính số tổ hợp:
  • Công thức tính số chỉnh hợp:

Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

Khi đó ta có:

Sau này EulerWeierstrass đã biến đổi lại thành:

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

Thay z = 1/2 ta thu được:

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

Giai thừa với số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa với số thực.

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

Như vậy:

Ví dụ:

Giai thừa với số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

approximation
0
1
2
3

Ở đây hằng số Euler - Mascheroni còn hàm zeta Riemann.

Các khái niệm tương tự[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Xem Giai thừa nguyên tố.

Giai thừa kép[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n!! 1 1 2 3 8 15 48 105 384 945 3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!(k), được định nghĩa đệ quy như sau

Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Neil SloaneSimon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

Tổng quát

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy A000178 trong OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là

trong đó for and .

Giai thừa trên[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]