Giai thừa

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	1,5511210043×10²⁵
50	3,0414093202×10⁶⁴
70	1,1978571670×10¹⁰⁰
100	9,3326215444×10¹⁵⁷
171	1,2410180702×10³⁰⁹
450	1,7333687331×10^1.000
1000	4,0238726008×10^2.567
3249	6,4123376883×10^10.000
10000	2,8462596809×10^35.659
25206	1,2057034382×10^100.000
100000	2,8242294080×10^456.573
205023	2,5038989317×10^1.000.004
1000000	8,2639316883×10^5.565.708
1,0248383838×10⁹⁸	10^{1,0000000000×10¹⁰⁰}
1,0000000000×10¹⁰⁰	10^{9,9565705518×10¹⁰¹}
1,7976931349×10³⁰⁸	10^{5,5336665775×10³¹⁰}
Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", kí hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = n.(n-1).(n-2)....4.3.2.1

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.

Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

0! = 1
(n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Ví dụ: 3! = 2! x 3 = 6 (mà 2! = 2)

Một số tính chất của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (a^{b^c}) có cùng cơ số và mũ.
$\log n! = \sum_{x=1}^n \log x.$
$\int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx$
$n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left(\frac{n+1}{e} \right) + 1.$
$e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}.$
$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$ (Công thức Stirling).
$n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$
$\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}.$

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tính số tổ hợp:

C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}(0 < k \le n)

Công thức tính số chỉnh hợp:

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}(0 < k \le n)

Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,{\rm d}t

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)\,.

Khi đó ta có:

z! = \Gamma(z + 1).\,

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:

\Gamma(z)\ = \lim_{n \to \infty}\frac {n^zn!}{\prod_{k = 0}^n (n + k)}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

\Gamma(z)\ \Gamma(1 - z)\ = \frac {\pi}{\sin ({\pi}z)}

Thay z = 1/2 ta thu được:

\Gamma \left(\frac {1}{2} \right)\ = \sqrt{\pi}

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\,.

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right]

\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right]

Giai thừa với số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa với số thực.

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

z! = \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,.

Như vậy:

(-0,5)! = \Pi \left(-\frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) \,.

(n - 0,5)! = \Pi \left(n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(n + \frac{1}{2} \right) \,.

(-n - 0,5)! = \Pi \left(-n - \frac{1}{2} \right) = \Gamma \left(-n + \frac{1}{2} \right) \,.

Ví dụ:

$\Gamma\left (4.5 \right) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63.$
$\Gamma\left (-2.5 \right) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453.$

Giai thừa với số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

\Gamma(z) = \sum_{k=0}^\infty\frac{\Gamma^{(k)}(1)}{k!}z^{k-1}\,,

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

$n$	$g_n$	approximation
0	$1$	$1$
1	$-\gamma$	$- 0.5772156649$
2	$\frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2}$	$0.9890559955$
3	$-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6}$	$-0.9074790760$

Ở đây $\gamma$ là hằng số Euler - Mascheroni còn $\zeta$ là hàm zeta Riemann.

Đồ thị hàm Z = |z!|.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).

Các khái niệm tương tự[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Xem Giai thừa nguyên tố.

Giai thừa kép[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{khi }n<=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{khi }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!!	1	1	2	3	8	15	48	105	384	945	3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

(n-2)!!=\frac{n!!}{n}

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

n!=n!!(n-1)!! \,

(2n)!!=2^nn! \,

(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!^(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{khi }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{khi }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.

Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

\mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

Tổng quát

\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy A000178 trong OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là