Giai thừa

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	&300009226-6000000.0000001.5511210043×10²⁵
50	&0000000000000000.0000003.0414093202×10⁶⁴
70	&0000000000000000.0000001.1978571670×10¹⁰⁰
100	&0000000000000000.0000009.3326215444×10¹⁵⁷
171	1.2410180702×10³⁰⁹
450	1.7333687331×10¹⁰⁰⁰
1000	4.0238726008×10²⁵⁶⁷
3249	6.4123376883×10¹⁰⁰⁰⁰
10000	2.8462596809×10³⁵⁶⁵⁹
25206	1.2057034382×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	2.8242294080×10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	2.5038989317×10^1000004
1000000	8.2639316883×10^5565708
&0000000000000000.0000001.0248383838×10⁹⁸	10^{&0000000000000000.0000001.0000000000×10¹⁰⁰}
&0000000000000000.0000001.0000000000×10¹⁰⁰	10^{&0000000000000000.0000009.9565705518×10¹⁰¹}
1.7976931349×10³⁰⁸	10^{&Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràngLỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng.Lỗi biểu thức: Từ “inf” không rõ ràng5.5336665775×10³¹⁰}
Các giá trị trên được tính bởi OEIS.

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu n! là tích của n số tự nhiên dương đầu tiên:

n! = 1x2x3x...x n

VD: 4! = 1.2.3.4 = 24

8! = 1.2.3.....7.8 = 40 320

Đặc biệt, với n = 0, người ta quy ước 0! = 1. Ký hiệu n! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808.
Giai thừa phổ biến trong các phép toán tổ hợp - xác suất

Định nghĩa đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau

0! = 1
(n + 1)! =n! × (n + 1) với n> 0

Chứng minh: Ta có:

n! × (n + 1) =1.2.3....n.(n+1) =( n + 1)!

Ví dụ: 3! = 2! x 3 = 6 (vì 2! = 1.2=2)

Một số tính chất của giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (a^{b^c}) có cùng cơ số và mũ.
$\log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x.$
$\int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx$
$n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.$
$e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.$
$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$ (Công thức Stirling).
$n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$
$\log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}.$

Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.

Các hệ thức sử dụng ký hiệu giai thừa[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tính số tổ hợp:

C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}(0<k\leq n)

Công thức tính số chỉnh hợp:

A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}(0<k\leq n)

Mở rộng cho tập số rộng hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.

Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?

Công thức Gamma[sửa | sửa mã nguồn]

Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t

Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:

\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\,.

Khi đó ta có:

z!=\Gamma (z+1).\,

Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:

\Gamma (z)\ =\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}(n+k)}}

Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:

\Gamma (z)\ \Gamma (1-z)\ ={\frac {\pi }{\sin({\pi }z)}}

Thay z = 1/2 ta thu được:

\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\ ={\sqrt {\pi }}

Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,.

Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:

\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]

Giai thừa với số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa với số thực.

Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:

z!=\Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.

Như vậy:

(-0,5)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,.

(n-0,5)!=\Pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.

(-n-0,5)!=\Pi \left(-n-{\frac {1}{2}}\right)=\Gamma \left(-n+{\frac {1}{2}}\right)\,.

Ví dụ:

$\Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.$
$\Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453.$

Giai thừa với số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Đồ thị đường đồng mức của hàm giai thừa biến phức.

Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:

\Gamma (z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ^{(k)}(1)}{k!}}z^{k-1}\,,

với |z| < 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:

$n$	$g_{n}$	approximation
0	$1$	$1$
1	$-\gamma$	$-0.5772156649$
2	${\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}$	$0.9890559955$
3	$-{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}$	$-0.9074790760$

Ở đây $\gamma$ là hằng số Euler - Mascheroni còn $\zeta$ là hàm zeta Riemann.

.
Đồ thị hàm Z = Re(z!).
Đồ thị hàm Z = Im(z!).

Các khái niệm tương tự[sửa | sửa mã nguồn]

Giai thừa nguyên tố (primorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố

Giai thừa nguyên tố (ký hiệu n#) với n>1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial. Các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Giai thừa kép[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể coi n! là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:

Giai thừa kép là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu 1 và công sai là 2.

n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{khi }}n<=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{khi }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.

Ví dụ:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!!	1	1	2	3	8	15	48	105	384	945	3840

Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:

(n-2)!!={\frac {n!!}{n}}

Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với n= -1, -3, -5, -7,...là

1, -1, 1/3, -1/15...

Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.

Một vài đẳng thức với giai thừa kép:

n!=n!!(n-1)!!\,

(2n)!!=2^{n}n!\,

(2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}

Cũng nên phân biệt n!! với (n!)!.

Giai thừa bội[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba (n!!!),bội bốn (n!!!!)....

Tổng quát, giai thừa bội k ký hiệu là n!^(k), được định nghĩa đệ quy như sau

n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{khi }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{khi }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.

Siêu giai thừa(superfactorial)[sửa | sửa mã nguồn]

Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của n giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là

\mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,

Tổng quát

\mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.

Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ n = 0) là

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200,... (dãy số A000178 trong bảng OEIS)

Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của n siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ n = 0):

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000,...

và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp m của n là tích của n siêu giai thừa bội cấp(m − 1), nghĩa là