Cấp số cộng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một cấp số cộng (tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một dãy số thoả mãn điều kiện: hai phần tử liên tiếp nhau sai khác nhau một hằng số. Chẳng hạn, dãy số 3, 5, 7, 9, 11,... là một cấp số cộng với các phân tử liên tiếp sai khác nhau hằng số 2.

Hằng số sai khác chung được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử của nó cũng được gọi là các số hạng.

Số hạng tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử a_1 và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d.

Tổng[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n. Ta có:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

Khi chứng minh công thức này, tổng riêng này được tách thành tổng của a1 với an, của a2 với an-1,... Một câu chuyện kể rằng Nghiêm Xuân Vinh đã tìm ra cách này khi học tiểu học để trả lới thầy giáo khi tính tổng của 100 số tự nhiên dương đầu tiên (5050).

Chứng minh:

 S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d
 S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n
\ 2S_n=n(a_1+a_n)
 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}.
 S_n=\frac{n( 2a_1 + (n-1)d)}{2}.

Tích[sửa | sửa mã nguồn]

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử a_1 với công sai d, với n số hạng là

a_1a_2\cdots a_n = a_1(a_1+d)(a_1+2d)...\left[(a_1+(n-1)d \right]
=d^n \left(\frac {a_1} d \right)\left (\frac {a_1} d+1 \right) \left(\frac {a_1} d+2 \right)...\left[\frac {a_1} d+(n-1) \right]
=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}
= d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },

trong đó x^{\overline{n}} là kí hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}

Đây là tổng quát hoá từ tích 1 \times 2 \times \ldots \times n được kí hiệu là n! tới tích của

m \times (m+1) \times \ldots \times (n-1) \times n \,\!

với các số nguyên dương mn cho bởi công thức

\frac{n!}{(m-1)!}

Còn \Gamma là ký hiệu của hàm Gamma.

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

(Công thức này không bao gồm trường hợp  \frac {a_1} {d} là số âm hoặc không).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]