Phép cộng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Phép cộng (thường được biểu thị bằng ký hiệu cộng "+") là một trong bốn phép toán cơ bản của số học; những phép tính khác là trừ, nhânchia. Thực hiện phép cộng hai số nguyên là tìm tổng số của các giá trị đó. Ví dụ, trong bức tranh bên cạnh, có sự kết hợp của ba quả táo và hai quả táo với nhau, tạo ra tổng cộng năm quả táo. Quan sát này tương đương với biểu thức toán học "3 + 2 = 5" tức là "3 cộng 2 bằng 5".

Bên cạnh việc đếm, phép cộng cũng có thể được sử dụng trên các loại số khác, chẳng hạn như số nguyên, số thựcsố phức. Đây là một phần của số học, một nhánh của toán học. Trong đại số, một lĩnh vực của toán học, phép cộng có thể được thực hiện trên các đối tượng trừu tượng như vector và ma trận.

Phép cộng có một số tính chất quan trọng. Nó là giao hoán, có nghĩa là thứ tự các phần tử trong phép tính không quan trọng, và kết hợp, có nghĩa là khi thực hiện phép cộng có nhiều hơn hai số, thứ tự thực hiện phép cộng không quan trọng. Lặp lại việc cộng 1 có kết quả tương tự việc đếm; cộng 0 có kết quả số không thay đổi. Ngoài ra nó cũng tuân theo các quy tắc khác có liên quan khi thực hiện các phép tính khác như trừ và nhân.

Thực hiện phép cộng là một trong những nhiệm vụ đơn giản nhất. Trẻ con ở độ tuổi tập đi có thể thực hiện các phép cộng với số nhỏ; nhiệm vụ cơ bản nhất, 1 + 1, có thể được thực hiện bởi trẻ sơ sinh từ năm tháng tuổi và thậm chí là một số thành viên của các loài động vật khác. Trong giáo dục tiểu học, học sinh được dạy để cộng số trong hệ thập phân, bắt đầu với các số có một chữ số và dần dần là các vấn đề có độ khó cao hơn. Các công cụ hỗ trợ cơ học trải dài từ bàn tính cổ xưa đến máy tính hiện đại, các nghiên cứu về việc thực hiện phép cộng hiệu quả nhất vẫn được tiếp tục cho đến ngày nay.

Ký hiệu và thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng được biểu thị bằng dấu cộng "+" giữa các phần tử của phép tính; một ký hiệu infix. Kết quả được thể hiện sau dấu bằng. Ví dụ:

("một cộng một bằng hai")

("hai cộng hai bằng bốn")

("một cộng hai bằng ba")

(xem phần "kết hợp" bên dưới)

(xem phần "nhân" bên dưới)

Cũng có những tình huống mà phép cộng được "hiểu" mà không có ký hiệu nào xuất hiện:

  • Một số nguyên ngay trước một phân số cho biết tổng của hai số, được gọi là số hỗn hợp. Ví dụ:

Ký hiệu này có thể gây nhầm lẫn vì trong hầu hết các bối cảnh các, hai phần tử toán học đặt liền kề nhau biểu thị phép nhân.

Tổng của một chuỗi các số liên quan có thể được thể hiện thông qua ký hiệu sigma, một biểu thị ngắn gọn cho phép lặp. Ví dụ:

Dấu cộng "+" (Unicode : U + 002B; ASCII : +) là viết tắt của từ Latin et, có nghĩa là "và". Nó xuất hiện trong các tác phẩm toán học có niên đại ít nhất là từ năm 1489.

Giải thích[sửa | sửa mã nguồn]

Toán học có thể được dùng để mô hình hóa nhiều quá trình vật lý. Ngay cả đối với trường hợp đơn giản là cộng số tự nhiên, có nhiều các giải thích khả dĩ và thậm chí nhiều biểu hiện trực quan.

Tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể giải thích cơ bản nhất về phép cộng nằm trong các tập hợp:

  • Khi hai hay nhiều tập hợp rời rạc được kết hợp lại thành một tập hợp, cố lượng đối tượng trong tập hợp được tạo ra là tổng số lượng đối trong các tập hợp gốc.

Giải thích này dễ hình dung, ít có nguy cơ mơ hồ. Nó cũng hữu ích với các cấp độ toán học cao hơn. Xem số tự nhiên bên dưới để xem định nghĩa nghiêm ngặt được nó truyền cảm hứng. Tuy nhiên, không rõ người ta làm thế nào để mở rộng định nghĩa này để bao gồm số phân số và số âm.

Một cách khắc phục khả dĩ là có thể xem các đối tượng trong tập hợp có thể phân chia, chẳng hạn thành các miếng hoặc, tốt hơn, là các thanh ngắn đồng đều. Thay vì kết hợp tập hợp các miếng, các thanh ngắn có thể được nối từ đầu đến cuối, điều này minh họa cho một quan niệm khác về phép cộng: cộng không phải là thanh mà là độ dài của thanh.

Một cách giải thích khác là kéo dài độ dài ban đầu theo một hướng nhất định:

  • Khi chiều dài ban đầu được kéo dài thêm một lượng nhất định, độ dài cuối cùng là tổng chiều dài bao đầu cộng với chiều dài của phần mở rộng.

Tổng a + b có thể được hiểu là một phép toán nhị phân kết hợp ab, theo nghĩa đại số, hoặc nó thể thể được hiểu là việc thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu sau, các phần của tổng a + b đóng vai trò bất đối xứng và phép toán a + b được xem là áp dụng phép toán đơn nguyên cho +b vào a. Thay vì gọi cả hai là phép cộng a và b, sẽ phù hợp hơn khi gọi b là phần thêm vào, vì đóng vai trò thụ động.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Giao hoán[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng có tính giao hoán: người ta có thể thay đổi vị trí các đối tượng trong một phép cộng, và kết quả là như nhau. Một cách tượng trưng, nếu a và b là hai số bất kỳ, thì

Thực tế, tính giao hoán trong phép cộng là một phần của "quy tắc giao hoán". một số phép toán nhị nguyên khác cũng có tính giao hoán, ví dụ như phép nhân, nhưng nhiều phép toán khác thì không, ví dụ như phép trừ và phép chia.

Kết hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng có tính kết hợp: khi cộng ba hay nhiều số, thứ tự thực hiện phép toán không quan trọng.

Ví dụ, biểu thức a + b + c nên được định nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Cho rằng phép cộng có tính kết hợp, sự lựa chọn định nghĩa là không liên quan. Với ba số a, b và c bất kỳ, thì (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Khi phép cộng được sử dụng cùng với các phép toán khác, thứ tự thực hiện phép toán trở nên quan trọng. Trong thứ tự thực hiện phép toán tiêu chuẩn, phép cộng có mức độ thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia, nhưng được ưu tiên ngang với phép trừ.

Yếu tố nhận dạng[sửa | sửa mã nguồn]

Khi cộng số không vào bất kỳ số nào, số lượng không thay đổi; không là phần tử đơn vị được cộng vào, còn được gọi là đơn vị cộng. Cho a bất kỳ,

Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brahmasphutasiddhanta của Brahmagupta năm 630, mặc dù nó được ông viết thành ba định luật riêng biệt, tùy thuộc vào việc a là âm, dương hay không, vào ông đã sử dụng các từ ngữ thay vì các ký hiệu đại số. Các nhà toán học Ấn Độ sau này đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira đã viết, "số không trở thành giống như những gì được thêm vào nó", tương ứng với tuyên bố đơn nguyên 0 + a = a.

Kế tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong ngữ cảnh của các số nguyên, việc cộng một cũng đóng một vai trò đặc biệt: với bất kỳ số nguyên a nào, số nguyên (a + 1) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn a, còn được gọi là số kế tiếp của a. Ví dụ, 3 là số kế tiếp của 2 và 7 là số kế tiếp của 6. Vì tính kế tiếp này, giá trị của a + b cũng có thể được xem là số kế tiếp thứ b của a, tạo ra sự kế tiếp lặp lại. Ví dụ, 6 + 2 bằng 8, vì 8 là số kế tiếp của 7, là kế tiếp của 6, nên 8 là số kế tiếp thứ 2 của 6.

Đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Để cộng các số có đơn vị vật lý, chúng phải được thể hiện bằng các đơn vị giống nhau. Ví dụ, cộng 50 ml vào 150 ml bằng 200 ml. Tuy nhiên, nếu độ dài 5 feet được kéo dài thêm 2 inch thì tổng là 62 inch, vì 60 inch tương đương với 5 feet. Mặt khác, thường là vô nghĩa khi cố gắng cộng 3 met với 4 met vuông, vì các đơn vị đó không thể so sánh được.

Thực hiện phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Khả năng bẩm sinh[sửa | sửa mã nguồn]

Các nghiên cứu về sự phát triển của toán học bắt đầu từ khoảng những năm 1980 đã khai thác hiện tượng thói quen: trẻ sơ sinh nhìn lâu hơn vào các tình huống bất ngờ. Trong một thí nghiệm của Karen Wynn vào nằm 1992 liên quan đến búp bê chuột Mickey bị điều khiển sau màn hình đã chứng minh rằng trẻ sơ sinh 5 tháng tuổi mong đợi 1 + 1 bằng 2 và chúng tương đối ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như đã ngụ ý rằng 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được xác nhận bởi nhiều phòng thí nghiệm sử dụng các phương pháp khác nhau. Một thí nghiệm khác năm 1992 với những đứa trẻ mới biết đi, từ 18 đến 35 tháng tuổi, đã nghiên cứu hành vi của chúng bằng cách cho chúng lấy những quả bóng bàn từ hộp; đứa trẻ nhỏ nhất trả lời tốt với số lượng nhỏ, trong khi những đứa trẻ lớn hơn có thể tính phép cộng có tổng lên tới 5.

Ngay cả một số động vật không phải người cũng thể hiện khả năng thực hiện phép cộng một cách hạn chế, đặc biệt là linh trưởng. Trong một thí nghiệm năm 1995 lặp lại thí nghiệm năm 1992 của Wynn (nhưng sử dụng cà tím thay vì búp bê), khỉ raveus và khi tamarin đã thực hiện tương tự như trẻ sơ sinh. Đáng kinh ngạc hơn, sau khi được dạy về ý nghĩa của các chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, một con tinh tinh có thể tính tổng của hai chữ số mà không cần dạy thêm. Gần đây, voi châu Á đã thể hiện khả năng thực hiện các phép tính số học cơ bản.

Học cộng khi còn nhỏ[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thường, kỹ năng mà trẻ em thành thạo đầu tiên là đếm. Khi đưa ra một vấn đề đòi hỏi phải kết hợp hai số hoặc ba số, trẻ nhỏ mô hình hóa tình huống bằng các vật thể, thường là ngón tay hoặc hình vẽ, sau đó đếm tống số. Khi đã có kinh nghiệm, những đứa trẻ sẽ học hoặc khám phá ra cách "đến ngược": yêu cầu tìm hai cộng ba, trẻ sẽ đếm bắt đầu từ ba mà bỏ qua hai, đếm "ba, bốn, năm" (thường đánh dấu bằng ngón tay) và kết thúc tại năm. Cách này có vẻ gần như là phổ quát; trẻ em có thể dễ dàng học được nó từ bạn bè hoặc giáo viên. Hầu hết là khám phá ra nó một cách độc lập. Với những kinh nghiệm sử dụng phép cộng, trẻ học được cách cộng nhanh hơn bằng cách khai thác tính giao hoán của phép cộng bằng cách đếm từ số lớn hơn, trong trường hợp này là bỏ qua ba và đếm "bốn, năm". Cuối cùng, trẻ em bắt đầu ghi nhớ một số phép toán nhất định, thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Một khi một số sự kiện đã được ghi lại vào bộ nhớ, trẻ bắt đầu rút ra những sự thật chưa biết từ những điều đã biệt. Ví dụ, một đứa trẻ được yêu cầu cộng sáu và bảy có thể biết rằng 6 + 6 = 12 và vì vậy 6 + 7 là một số lớn hơn 1 đơn vị, là 13. Những sự kiện xuất phát như vậy có thể được tìm thấy rất nhanh và cuối cùng hầu hết học sinh tiểu học dựa vào một hỗn hợp các sự kiện đã được ghi nhớ và dẫn xuất để thực hiện phép cộng trôi chảy.

Các quốc gia khác nhau dạy trẻ biết bộ số và số học ở các độ tuổi khác nhau, nhiều quốc gia dạy phép cộng ở trường mầm non. Tuy nhiên, trên toàn thế giới, phép cộng được dạy vào cuối năm thứ nhất của trường tiểu học.

Bảng cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Trẻ em thường được yêu cầu nhớ các phép cộng từ 0 đến 10. Biết được điều này, ta có thể thực hiện bất kỳ phép cộng số tự nhiên nào.

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Hệ thập phân[sửa | sửa mã nguồn]

Điều kiện tiên quyết để thực hiện phép cộng trong hệ thập phân là tính toán lưu toán 100 phép cộng trong bảng cộng. Người ta có thể ghi nhớ các phép tính bằng cách học vẹt, nhưng bằng cách áp dụng các tính chất cơ bản của phép cộng, đối với hầu hết mọi người, sẽ có hiệu quả cao hơn:

  • Tính chất giao hoán: Được đề cập ở trên, sử dụng mẫu a + b = b + a sẽ làm giảm số lượng phép tính từ 100 xuống còn 55.
  • Thêm một hoặc hai: Chia số các số lẻ và chẵn, cộng các số chẵn trước, rồi sau đó cộng phần lẻ sau.
  • Gần gấp đôi: Kết quả của phép tính 6 + 7 = 13 có thể dễ dàng suy ra từ 6 + 6 = 12 và cộng thêm một hay 7 + 7 = 14 trừ đi một.
  • Năm và mười: Tổng của mẫu 5 + x và 10 +x thường được ghi nhớ sớm hơn và có thể được sử dụng trong các phép tính khác. Ví dụ: 6 + 7 = 13 có thể được suy ra từ 5 + 7 = 12 cộng thêm 1.
  • Số 10: Một cách khác liên quan đến số 10 là sử dụng 10 làm trung gian cho phép tính; ví dụ: 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Khi học sinh lớn lên, chúng ghi lại nhiều phép tính hơn vào bộ nhớ và học cách rút ra các phép tính khác một cách nhanh chóng và trôi chảy. Nhiều học sinh không bao giờ ghi lại tất cả các phép tính vào bộ nhớ, nhưng khi cần vẫn có thể nhanh chóng suy ra từ các phép tính cơ bản.

Thực hiện[sửa | sửa mã nguồn]

Cách tính phép cộng cơ bản là viết các số có nhiều chữ số theo chiều dọc và cộng từng cột, bắt đầu từ phải sang trái. Nếu kết quả của một cột vượt quá 9, chữ số hàng chục sẽ được nhớ để cộng vào cột tiếp theo. Ví dụ: thực hiện phép cộng 27 + 59

7 + 9 = 16, viết 6 nhớ 1; 2 + 5 = 7, nhớ 1 là 8.

Một phương pháp khác bắt cộng từ số có nghĩa đầu tiên ở bên trái; phương pháp này làm cho việc tính toán trở nên vụng về, nhưng nó hiệu quả cho việc ước tính nhanh sơ bộ tổng. Có nhiều phương pháp thay thế.

Cộng số thập phân[sửa | sửa mã nguồn]

Số thập phân có thể được cộng theo một quá trình đã được sửa đổi đơn giản của quá trình trên. Viết hai số thập phân trên nhau, sao cho dấu thập phân ở cùng một vị trí. Nếu cần thiết, người ta có thể thêm các số 0 ở cuối của một số thập phân ngắn hơn để làm cho nó có cùng độ dài với số thập phân dài hơn. Cuối cùng thực hiện phép cộng theo quy trình tương tự như trên, ngoại trừ việc đặt dấu thập phân ở chỗ chính xác trong kết quả/

Ví dụ, thực hiện phép cộng 45,1 + 4,34

Ký hiệu khoa học[sửa | sửa mã nguồn]

Trong ký hiệu khoa học, các con số được viết dưới dạng , ở đây a là phần nghĩa và là phần số mũ. Phép cộng yêu cầu hai số trong ký hiệu khoa học phải có phần số mũ giống nhau, để cho hai số có thể được cộng một cách đơn giản.

Ví dụ:

Phép cộng trong các hệ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng trong các hệ số khác rất giống với phép cộng thập phân. Ví dụ, cộng hai số trong hệ nhị phân, cộng hai số nhị phân có một chữ số tương đối đơn giản, sử dụng số nhớ:

, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 x 21))

Cộng hai số "1" sẽ bằng một số "0" và nhớ "1" vào cột tiếp theo. Điều này tương tự với những gì xảy ra trong số thập phân khi các số có một chữ số được cộng lại với nhau; nếu kết quả bằng hoặc vượt giá trị của cơ số (10), chữ số bên trái được tăng lên một đơn vị:

, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 x 101))

, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 x 101))

Cách nhớ một số để cộng vào hàng tiếp theo được thực hiện tương tự như phép cộng trong hệ cơ số mười, ví dụ về số nhớ trong hệ nhị phân:

Trong ví dụ này có hai số được cộng với nhau là 11012 (1310) và 101112 (2310). Hàng trên cùng là các số nhớ. Cột thứ nhất bên phải, 1 + 1 = 102, viết 0 nhớ 1; cột thứ 2, 1+ 0 + 1 = 102, viết 0 nhớ 1; cột thứ 3, 1 + 1 + 1 = 112, viết 1 nhớ 1. Tiếp tục tính các cột còn lại ta được kết quả là 1001002 (3610).

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Analog computer

Các máy tính analog làm việc trực tiếp với các đại lượng vật lý, vì vậy cơ chế thực hiện phép cộng của chúng phụ thuộc vào hình thức của phép tính. Bộ cộng cơ học có thể sử dụng vị trí của các khối trượt làm đại diện cho các số trong phép cộng, trong trường hợp đó, phép cộng được thực hiện nhờ vào một đòn bẩy. Nếu phần được cộng thêm là tốc độ quay của hai trục, chúng có thể được cộng bằng vi sai. Một bộ cộng thủy lực có thể cộng thêm áp lực vào hai khoang bằng cách khai thác định luật thứ hai của Newton để cân bằng lực trên một cụm pittong. Tình huống phổ biến nhất của một máy tính analog là cộng hai điện áp; điều này có thể được thực hiện gần đúng với một mạng điện trở, nhưng để tốt hơn thì nên sử dụng một mạch khuyếch đại thuật toán.

Phép cộng cũng là nền tảng hoạt động của máy tính kỹ thuật số, trong đó hiệu suất của việc thực hiện phép cộng, đặc biệt là cơ chế nhớ, là một hạn chế quan trọng liên quan đến hiệu suất tổng thể.

Bàn tính là một công cụ tính toán đã được sử dụng nhiều thế kỷ từ trước khi hệ thống chữ số hiện đại được sử dụng, và ngày nay vẫn phổ biến trong giới thương nhân châu Á, châu Phi; nó xuất hiện ít nhất từ 2700-2300 TCN, khi nó được sử dụng tại Sumer.

Blaise Pascal đã phát minh ra máy tính cơ học vào năm 1642; nó là máy tính cộng đầu tiên. Nó sử dụng một cơ chế nhớ dựa vào trọng lực. Nó là máy tính cơ học duy nhất hoạt động trong thế kỷ 17 và là máy tính kỹ thuật số tự động sớm nhất. Máy tính của Pascal bị giới hạn bởi cơ chế mang, nó buộc các bánh quay chỉ quay một chiều để cộng. Giovanni Poleni đã dựa theo Pascal, xây dựng chiếc máy tính cơ học thứ hai vào năm 1709, nó là một chiếc đồng hồ tính toán làm bằng gỗ, khi được thiết lập có thể tự động nhân hai số.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]