Số phức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, với Re là trục thực, Im là trục ảo.

Số phứcsố có dạng a+bi, trong đó ab là các số thực, iđơn vị ảo, với i2=-1.[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục thực và trục tung là trục ảo, do đó một số phức a+bi được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo, nếu có phần ảo bằng không thì trở thành là số thực. Việc mở rộng trường số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực.

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn độn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỷ 16.[2]

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1.

Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a+bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học, trường số phức, ký hiệu là \mathbb{C}. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề.
Gọi \mathbb{R} là trường số thực. Ký hiệu \mathbb{C} là tập hợp các cặp (a,b) với a,b \in \mathbb{R}.
Trong \mathbb{C}, định nghĩa hai phép toán cộngnhân như sau:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

thì \mathbb{C} là một trường (xem cấu trúc đại số).
Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực \mathbb{R} vào \mathbb{C} bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp (a,0)\in\mathbb{C}. Khi đó 0 \to (0,0), 1 \to (1,0), -1 \to(-1,0)... Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực \mathbb {R} với tập con các số phức dạng (a,0), khi đó tập các số thực \mathbb {R}tập con của tập các số phức \mathbb {C}\mathbb {C} được xem là một mở rộng của \mathbb {R}. Kí hiệu i là cặp (0,1) \in \mathbb{C}. Ta có i^2 = (0,1)\times(0,1) = (-1,0)=-1.
Số phức i được gọi là đơn vị ảo, tất cả các số phức dạng ai được gọi là các số ảo (thuần ảo).

Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng đại số của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo i đặc trưng bởi biểu thức i2=−1. Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

z = a + b.i.

trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:

(a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i
(a + b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i

Mặt phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Complex.png

Trong hệ toạ độ Đề các, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức z = x + yi. Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.

Số thực và số thuần ảo[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: số thực

Nếu b=0, số phức có dạng z = a được gọi là số thực, nếu a =0, số phức b.i được gọi là thuần ảo.

Số phức liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Số phức liên hợp

Cho số phức dưới dạng đại số Z =a+bi\,, số phức \overline Z =a-bi được gọi là số phức liên hợp của z.

  • Một số tính chất của số phức liên hợp:
  1. Z \times \overline Z = a^2+b^2 là một số thực.
  2. \overline{Z + Z'} =\overline Z+\overline {Z'}
  3. \overline{Z \times Z'} =\overline Z \times \overline {Z'}
  • Phép chia hai số phức dưới dạng đại số:
\frac {a+bi} {c+di}=\frac {(a+bi)(c-di)} {(c+di)(c-di)}=\frac {ac+bd}{c^2+d^2} +\frac {bc-ad}{c^2+d^2}i

Mođun và Argumen[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: MođunArgumen
  • Cho z=a+bi\,. Khi đó z \times \overline z=a^2+b^2\,. Căn bậc hai của z \times \overline z\, được gọi là mođun của z, ký hiệu là |z|. Như vậy |z|=\sqrt{a^2+b^2}.
Xem thêm: giá trị tuyệt đối
  • Có thể biểu diễn số phức z=a+b*i trên mặt phẳng tọa độ bằng điểm M(a,b), góc \varphi giữa chiều dương của trục Ox và vec tơ, \overrightarrow {OM} được gọi là argumen của số phức z, ký hiệu là arg(z).
  • Một vài tính chất của môđun và argumen
|\bar{z}| = |z|, |z_1*z_2|=|z_1|*|z_2|,|z^n| = |z|^n,

 arg(z_1*z_2)=arg(z_1)+arg(z_2),

arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=arg(z_1)-arg(z_2),arg(z^n) = n\,arg(z)\,

Dạng lượng giác của số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số phức z=a+b*i có thể viết dưới dạng

z=a+b*i = \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac {a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac {b}{\sqrt{a^2+b^2}}*i \right)

hay, khi đặt

r=|z|, \varphi=arg(z),

ta có

z= r(cos \varphi+i\,sin \varphi)

Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z= r(cos \varphi+i\,sin \varphi)
z'= r'(cos {\varphi}'+i\,sin {\varphi')}

Khi đó

z*z'= rr'(cos (\varphi+{\varphi}') +i\,sin (\varphi+{\varphi}')
 \frac {z}{z'}= \frac {r}{r'}(cos (\varphi-{\varphi}') +i\,sin (\varphi-{\varphi}')
z^n= r^n(cos (n \,\varphi) +i\,sin (n\,\varphi))
  • Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.
Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
{\omega}_k=\sqrt[n]{r}( cos {\psi}_k+i\,sin {\psi}_k)

trong đó {\psi}_k = \frac{\varphi+k\,2\,\pi}{n},  k=0,1,...n-1

Một số ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Charles P. McKeague (2011). Elementary Algebra. Brooks/Cole. tr. 524. ISBN 978-0-8400-6421-9. 
  2. ^ Burton (1995, tr. 294)

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê