Bình phương

5⋅5, hay 5² (5 mũ 2, 5 bình phương). Mỗi khối đại diện cho một đơn vị, 1⋅1, và toàn bộ hình vuông đại diện cho diện tích hình vuông đó, hay là 5⋅5.

Bình phương hay mũ 2 là phép toán áp dụng cho mọi số thực hoặc số phức. Bình phương của một số là tích của số đó với chính bản thân nó 2 lần. Một cách tổng quát, bình phương chính là lũy thừa bậc 2 của một số, và phép toán ngược với nó là phép khai căn bậc 2.

Tính chất

Bình phương của số thực luôn là số ≥0. Bình phương của một số nguyên gọi là số chính phương.

Tính chất của số chính phương

Bài chi tiết: Số chính phương

• Số chính phương chỉ có thể tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9. Số chính phương không thể tận cùng là: 2; 3; 7; 8.
• Một số chính phương có tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2. Một số chính phương có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.
  • Chứng minh: Số chính phương $a=b^{2}$ có tận cùng là 5 suy ra $b$ có tận cùng là $5$. Đặt $b=10x+5$. Ta có $(10x+5)^{2}=100x^{2}+100x+25=100(x^{2}+x)+25$, có hai chữ số tận cùng là 25, do đó chữ số hàng chục là 2. Số chính phương $a=b^{2}$ có tận cùng là 6 suy ra $b$ có tận cùng là 4 hoặc 6. Xét $(10x+4)^{2}=100x^{2}+80x+16=6+10(10x^{2}+8x+1)=6+10[2(5x^{2}+4x)+1]$ và $(10x+6)^{2}=100x^{2}+120x+36=6+10(10x^{2}+12x+3)=6+10[2(5x^{2}+6x+1)+1]$. Do đó chữ số hàng chục là số lẻ.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố thì các thừa số chỉ chứa số mũ chẵn.
• Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ.
• N là số chính phương thì N chia hết cho một số nguyên tố khi và chỉ khi N chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó (trừ trường hợp N=0; N=1).
• Tích của nhiều số chính phương là một số chính phương.
  • Ví dụ: a² × b² × c² = (a × b × c)²

Ký hiệu

Số mũ ² bên phải của số được bình phương.

Ví dụ

• Số thực:

2² = 2 × 2 = 4

15² = 15 × 15=225

(- 0,5)² = 0,25

• Số phức:

i² = -1

(3 + 2i)² = 5 + 12i

Thư mục

• Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2011, Toán 6 (tập một) (tái bản lần thứ chín), Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.