Trường (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trường cùng với nhómvành là các cấu trúc đại số cơ bản trong đại số trừu tượng.

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Trường (đại số) là một tập trên đó có hai phép toán cộngnhân thỏa mãn:

  1. nhóm giao hoán với phép cộng
  2. nhóm giao hoán với phép nhân
  3. Trên , phép nhân phân phối với phép cộng

Chi tiết hơn các điều kiện trên, ta có thể kể ra các tiên đề của trường như sau:

Trường là một tập hợp trên đó xác định hai phép toán cộng và nhân:

Phép cộng (+):
Phép nhân (×):
thoả mãn các tiên đề sau:
  1. Phép cộng có tính kết hợp: ;
  2. Phép cộng có tính giao hoán: ;
  3. Tồn tại phần tử 0: ;
  4. Tồn tại phần tử đối: ;
  5. Phép nhân có tính kết hợp: ;
  6. Phép nhân có tính giao hoán: ;
  7. Tồn tại phần tử đơn vị: ;
  8. Tồn tại phần tử nghịch đảo: ;
  9. Phép nhân phân phối với phép cộng: .

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các trường hữu hạn có vai trò to lớn trong lý thuyết Galois.
  • Trường có ít phần tử nhất là trường chỉ gồm duy nhất một phần tử 0. Tiếp theo là trường chỉ gồm hai phần tử 0 và 1 với phép cộng và phép nhân modulo 2.

Các trường hợp không phải là trường[sửa | sửa mã nguồn]

  • Mọi tập với phép cộng và phép nhân modulo n trong đó n là hợp số không là một trường.

Trường con[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử F là một trường. Tập con E F được gọi là trường con của F nếu chính E là một trường với cùng phép toán trong F. Định lý: Cho F là một trường và tập con E F có nhiều hơn một phần tử. Các điều kiện sau là tương đương.

  1. E là trường con của F
  2. và nếu
  3. và nếu
  • Ví dụ:
    • Trường số hữu tỷ là trường con của trường số thực, trường số thực là trường con của trường số phức .
    • Tập A
A=
là trường con của .
    • Tập các ma trận cấp 2 dạng
với phép cộng và nhân ma trận là một trường và tập các ma trận dạng
là trường con của nó.

Nhưng đôi khi E không phải là trường con của F nếu và F là một trường.

Trường các thương[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê