Ma trận khả nghịch

Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông có tồn tại ma trận nghịch đảo của nó trong phép nhân ma trận.

Định nghĩa

Ma trận đơn vị

• Ma trận đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.

$E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdot &\cdot &0\\0&1&\cdot &\cdot &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdot &\cdot &1\end{bmatrix}}$

• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.

Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó

• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A⁻¹.

Các tính chất

1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo

Định thức con, phần bù đại số và ma trận phụ hợp

• Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$ và phần tử $a_{ij}$. Định thức của ma trận cấp $n-1$ suy ra từ $A$ bằng cách xóa đi dòng thứ $i$, cột thứ $j$ được gọi là định thức con của $A$ ứng với phần tử $a_{ij}$, ký hiệu là $M_{ij}$.
• Định thức con của $M_{ij}$ nhân với $(-1)^{i+j}$ được gọi là phần bù đại số của phần tử $a_{ij}$, ký hiệu là $A_{ij}$.

  $A_{ij}=(-1)^{i+j}det(M_{ij})$

  $1\leq i,j\leq n$

Ví dụ: Cho ma trận

$A={\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{bmatrix}}$.

Khi đó

$A_{11}=(-1)^{2}{\begin{vmatrix}2&1\\0&3\end{vmatrix}}=6$

Tương tự $A_{12}=0;A_{13}=0;A_{21}=-3;A_{22}=3;A_{23}=0;A_{31}=-1;A_{32}=-1;A_{33}=2$.

• Ma trận phụ hợp của ma trận vuông $A$ (kí hiệu $A^{*}$) thu được từ ma trận các phần bù đại số của các phần tử ma trận $A$ (còn gọi là ma trận đồng yếu tố của ma trận $A$, kí hiệu $C$) sau khi chuyển vị.

Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận $A$ là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của $A$ được tính bằng công thức:

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}.A^{*}$

Với $A^{*}$ là ma trận phụ hợp của ma trận $A$.

Điều đó có nghĩa là:

$A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$

Với ma trận phía vế phải là ma trận phụ hợp ($A^{*}$) của ma trận vuông $A$ khi khai triển.

Các bước tìm ma trận nghịch đảo

Cách 1

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A vuông cấp n

  Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$

  Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$, chuyển sang bước 2

• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Tìm phần bù đại số của các phần tử của $A^{'}$. Ta gọi phần bù đại số của phần tử $a_{ij}^{'}$ thuộc hàng $i$ cột $j$ của ma trận $A^{'}$ là $A_{ij}^{'}$. Ta có: $A_{ij}^{'}=(-1)^{i+j}det(M_{ij}^{'})$. Với:

  $1\leq i,j\leq n$;

  $M^{'}{ij}$ là ma trận vuông cấp $n-1$ thu được sau khi loại bỏ hàng $i$ và cột $j$;

  $i+j$ là chẵn thì ta giữ nguyên dấu, còn $i+j$ lẻ thì ta đổi dấu (nhân với -1).

• Bước 4: Lập ma trận thu được từ các phần bù đại số của các phần tử của $A^{'}$. Ta gọi đó là ma trận phụ hợp của ma trận $A$ (vuông cấp $n$, kí hiệu là $A^{*}$.

  $A^{*}={\begin{bmatrix}A_{11}^{'}&A_{12}^{'}&\cdot &A_{1n}^{'}\\A_{21}^{'}&A_{22}^{'}&\cdot &A^{'}{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{n1}^{'}&A_{n2}^{'}&\cdot &A^{'}{nn}\end{bmatrix}}$.

• Bước 5: Tính ma trận $A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}A^{*}$.

Cách 2

• Bước 1: Tính định thức của ma trận $A$ vuông cấp $n$.

  Nếu $det(A)=0$, ta nói $A$ không có ma trận nghịch đảo.

  Nếu $det(A)\neq 0$, ta nói $A$ khả nghịch. Ta gọi ma trận nghịch đảo của $A$ là $A^{-1}$.

• Bước 2: Tìm phần bù đại số của các phần tử của ma trận $A$. Ta gọi phần bù đại số của phần tử $a_{ij}$ là $A_{ij}$.
• Bước 3: Lập ma trận thu được từ các phần bù đại số của các phần tử của $A$, ta được ma trận đồng yếu tố của $A$, tức là ma trận $C={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdot &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdot &A_{2n}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{n1}&\cdot A_{n2}&\cdot &A_{nn}\end{bmatrix}}$. Với:

  $A_{ij}=(-1)^{i+j}det(M_{ij})$ là phần bù đại số của $a_{ij}$;

  $i+j$ là chẵn thì ta giữ nguyên dấu, còn $i+j$ lẻ thì ta đổi dấu (nhân với -1);

  $M_{ij}$ là ma trận con cấp $n-1$ khi ta xóa hàng $i$ và cột $j$.

• Bước 4: Lập ma trận phụ hợp của $A$. Ma trận phụ hợp kí hiệu là $A^{*}$.

  $A^{*}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdot &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdot &A_{n2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{1n}&A_{2n}&\cdot &A_{nn}\end{bmatrix}}$.

Có nghĩa là ma trận $C$ sau khi chuyển vị.

• Bước 5: Ta được ma trận $A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}A^{*}$.

Ví dụ

Cho $A={\begin{bmatrix}1&-2\\3&2\\\end{bmatrix}}$. Tính $A^{-1}$,

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan

Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A

$det(A)={\begin{vmatrix}1&-2\\3&2\end{vmatrix}}=1*2-(-2*3)=8$

$det(A)=8\neq 0$suy ra tồn tại ma trận nghịch đảo $A^{-1}$, chuyển sang bước 2.

• Bước 2: Tìm ma trận chuyển vị A' của A.

$A'={\begin{bmatrix}1&3\\-2&2\end{bmatrix}}$

• Bước 3: Tìm ma trận phụ hợp A* của A'.

$A^{*}={\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}$

• Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.

$A^{-1}={\frac {1}{8}}{\begin{bmatrix}2&2\\-3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.25\\-0.375&0.125\end{bmatrix}}$

Xem thêm

• Phép nhân ma trận
• Ma trận phụ hợp
• Ma trận đơn vị
• Ma trận giả đảo

Tham khảo

• Hazewinkel, Michiel, biên tập (2001), "Inversion of a matrix", Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (ấn bản thứ 2). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – qua Google Books.
• Petersen, Kaare Brandt; Pedersen, Michael Syskind (ngày 15 tháng 11 năm 2012). "The Matrix Cookbook" (PDF). tr. 17–23.

Liên kết ngoài

• Sanderson, Grant (ngày 15 tháng 8 năm 2016). "Inverse Matrices, Column Space and Null Space". Essence of Linear Algebra – qua YouTube.
• Strang, Gilbert. "Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices". MIT OpenCourseWare.
• Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown
• Moore-Penrose Inverse Matrix