Tích vô hướng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Tích vô hướng (tên tiếng Anh: dot product hoặc scalar product) là khái niệm trang bị cho một không gian vectơ H trên trường K (K là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert. Đó là một hàm 2 biến f: (\vec x,\vec y) \to \left \langle \vec x,\vec y \right \rangle \mbox{and } K \to H\times H thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1.  \langle \vec x,\vec y \rangle = \overline{\langle \vec y,\vec x\rangle},

2. \langle \vec x+\vec y,\vec z\rangle = \langle \vec x, \vec z \rangle + \langle \vec y,\vec z \rangle ,

3. \langle\varphi \vec x, \vec y \rangle  = \varphi \langle \vec x,\vec y \rangle,

4. \langle x,x \rangle  = |x|;\ \langle x,x \rangle = 0 khi và chỉ khi  \vec x = \vec 0.

với mọi  \vec x,\vec y \in H,\ \varphi \in K

Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng.

Nếu không gian vectơ H được trang bị bởi một tích vô hướng trên đó thì nó trở thành không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi công thức

 \|\vec x\| =\sqrt {\langle \vec x,\vec x\rangle},\ \forall \vec x \in H

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A1, A2,..., An] và B = [B1, B2,..., Bn] được định nghĩa như sau:[1]

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\sum_{i=1}^n A_iB_i=A_1B_1+A_2B_2+\cdots+A_nB_n

trong đó Σ là phép lấy tổng và n là số chiều của không gian vectơ. Ví dụ, trong không gian ba chiều, tích vô hướng của hai vectơ [1, 3, −5] và [4, −2, −1] là:


\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}

Định nghĩa hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian Euclide, một vectơ Euclide là một đối tượng hình học có độ lớn và hướng và được biểu diễn bằng một mũi tên. Độ lớn của vectơ là chiều dài của vectơ và hướng của vectơ là hướng mà mũi tên chỉ đến. Độ lớn của vectơ A được ký hiệu là  \left\| \mathbf{A} \right\| . Tích vô hướng của hai vectơ Euclide A and B được định nghĩa như sau:[2][3]

\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\|\mathbf{A}\|\ \|\mathbf{B}\|\cos(\theta) ,

trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường hợp đặc biệt, nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:

\mathbf A \cdot \mathbf B = 0 .

Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

\mathbf A \cdot \mathbf B = \left\| \mathbf A \right\| \, \left\| \mathbf B \right\|

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

\mathbf A \cdot \mathbf A = \left\| \mathbf A \right\| ^2 ,

ta có:

 \left\| \mathbf A \right\| = \sqrt{\mathbf A \cdot \mathbf A} ,

khoảng cách Euclid của vecto.

Phép chiếu vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Scalar projection

Phép chiếu vô hướng của một vectơ Euclide A lên hướng của vectơ Euclide B là:

 A_B = \left\| \mathbf A \right\| \cos \theta ,

trong đó θ là góc giữa A và B.

Theo định nghĩa hình học, tích vô hướng được biểu diễn như sau: 

A_B = \mathbf A \cdot \widehat{\mathbf B} ,

trong đó  \widehat{\mathbf B} = \mathbf B / \left\| \mathbf B \right\|  là vectơ đơn vị cùng hướng với B.

Tính phân phối của tích vô hướng

Tích vô hướng được định nghĩa theo hình học như sau[4]

 \mathbf A \cdot \mathbf B = A_B \left\| \mathbf{B} \right\| = B_A \left\| \mathbf{A} \right\| .

Tích vô hướng là thuần nhất, nghĩa là với đại lượng vô hương α, ta có:

 ( \alpha \mathbf{A} ) \cdot \mathbf B = \alpha ( \mathbf A \cdot \mathbf B ) = \mathbf A \cdot ( \alpha \mathbf B ) .

Tích vô hướng thỏa mãn luật phân phối:

 \mathbf A \cdot ( \mathbf B + \mathbf C ) = \mathbf A \cdot \mathbf B + \mathbf A \cdot \mathbf C .

Từ những kết quả trên, ta kết luận rằng tích vô hướng thuộc dạng song tuyến. Hơn nữa, dạng song tuyến là không âm, nghĩa là  \mathbf A \cdot \mathbf A  không bao giờ âm và bằng 0 khi và chỉ khi  \mathbf A = \mathbf 0 .

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a, b, và c là các vectơ và r là đại lượng vô hướng, tích vô hướng thõa mãn các tính chất sau:.[1][2]

  1. Giao hoán:
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ,
    được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa a và b):
     \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf{b} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\| \cos \theta = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} .
  2. Phân phối cho phép cộng vectơ:
     \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} .
  3. Dạng song tuyến:
     \mathbf{a} \cdot ( r \mathbf{b} + \mathbf{c} ) = r ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) + ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) .
  4. Phép nhân vô hướng:
     ( c_1 \mathbf{a} ) \cdot ( c_2 \mathbf{b} ) = c_1 c_2 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) .
  5. Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b) và vectơ (c) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là không hợp lệ.[5][6]
  6. Trực giao:
    Hai vectơ khác vectơ không: a và b trực giao khi và chỉ khi ab = 0.
  7. Không có tính khử:
    Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu
    ab = ac, thì b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:
    Nếu ab = ac và a0, thì ta có: a ⋅ (bc) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực giao với (bc), tức là (bc) ≠ 0, và dẫn đến bc.
  8. Product Rule: Nếu a và b là hàm số, thì đạo hàm của ab là a′ ⋅ b + ab.

Áp dụng cho định lý cos[sửa | sửa mã nguồn]

Tam giác có cạnh vectơ a and b, và góc giữa 2 vectơ là θ.

Hai vecto a và b có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = ab. Tích vô hướng của c và chính nó là Định lý cos:


\begin{align}
\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}  & = ( \mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot ( \mathbf{a} - \mathbf{b} ) \\
 & = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \\
 & = a^2 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\
 & = a^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + b^2 \\
 c^2 & = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \theta \\
\end{align}

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (ấn bản 4). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1. 
  2. ^ a ă M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (ấn bản 2). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. 
  3. ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications. Dover. tr. 14.  Đã bỏ qua tham số không rõ |translator= (gợi ý |others=) (trợ giúp)
  4. ^ Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000). Mathematical Methods for Physicists (ấn bản 5). Boston, MA: Academic Press. tr. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0. 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Dot Product."
  6. ^ A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Engineering Mechanics: Statics (ấn bản 5). Prentice Hall. tr. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.