Nhóm Prüfer

Trong toán học, và cụ thể là trong lý thuyết nhóm, một p-nhóm Prüfer là bất kỳ nhóm nào đẳng cấu với nhóm nhân

$\mathbf {C} _{p^{\infty }}=\{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N} \}$

tạo bởi các căn thức phức của đơn vị có bậc là một lũy thừa của p (với p là một số nguyên tố).

Do đó, nó là một p-nhóm giao hoán đếm được.

Định nghĩa tương đương

Đặt G là một p-nhóm Prüfer. Ta có:

a) G đẳng cấu với nhóm thương $\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} ,$ với $\mathbf {Z} [1/p]$ là nhóm con của (Q,+) được tạo bởi các phân số có dạng $n/p^{m}$, với $n\in \mathbf {Z} ,m\in \mathbf {N}$.

Chứng minh. Đồng cấu $\mathbf {Z} [1/p]\rightarrow \mathbf {C} _{p^{\infty }}:q\mapsto \exp(2\pi iq)$ là một toàn ánh. Hạch của nó là $\mathbf {Z}$.

b) G có biểu thị nhóm

$\langle x_{1},x_{2},\dots |x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},\dots \rangle .$

c) G có một hệ sinh $\ (a_{n})_{n\in \mathbf {Z} }$ sao cho$\ a_{0}\not =1$, $\ a_{0}^{p}=1$ và $\ a_{n+1}^{p}=a_{n}$ với mọi $n\geq 0$ .

d) G là hợp của một chuỗi tăng dần vô hạn $C_{0}\leq C_{1}\leq \ldots \leq C_{n}\leq \ldots$ trong đó, với mọi n, C_n là một nhóm cyclic cấp pⁿ .