Ideal nguyên tố

Giản đồ Hasse mô tả các ideal nguyên tố của vành $\mathbb {Z} .$ Các đỉnh màu tím là các ideal nguyên tố, là các ideal chính được sinh bởi các số nguyên tố.

Đừng nhầm với Ideal nguyên sơ.

Trong đại số, ideal nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

Ideal nguyên tố trong các vành giao hoán

Định nghĩa

Một ideal $I$ của một vành giao hoán $R$ được gọi là ideal nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:

• Nếu $a$ và $b$ là hai phần tử của $R$ sao cho tích $ab$ là phần tử của $I$, thì $a$ là phẩn tử của $I$ hoặc $b$ là phần tử của $I$.
• $I$ không phải là toàn bộ vành $R$

Định nghĩa này là sự tổng quát của tính chất của số nguyên tố (hay được biết tới là bổ đề Euclid) rằng, với số nguyên tố p là uớc số của tích ab (với a và b là hai số nguyên) thì hoặc p là ước của a, hoặc p là ước của b. Từ đó, số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉ khi $p\mathbb {Z}$ là số nguyên tố.

Tập tất cả các ideal nguyên tố của vành $R$ được gọi là spectrum và kí hiệu là Spec R.

Ví dụ và phản ví dụ

• Với $R=\mathbb {Z} ,$ tập hợp các số chẵn là một ideal nguyên tố, được ký hiệu là $2\mathbb {Z}$.
• Trên miền nguyên, ideal chính sinh bởi phần tử nguyên tố là một ideal nguyên tố. Nói rộng hơn, một ideal chính là ideal nguyên tố khi và chỉ khi phần tử sinh là nguyên tố. Trong vành nhân tử hóa duy nhất, một ideal nguyên tố khác không đều chứa một phần tử nguyên tố.
• Trong một vành $R$, một ideal tối đại là một ideal $M$ tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các ideal thực sự của $R$, tức là $M$ được chứa trong chính xác hai ideal của $R$: $M$ và $R$. Một ideal tối đại thì là nguyên tố, nhưng chiều ngược lại nhìn chung không đúng.
• Nếu $X$ là một đa tạp trơn, $R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ là vành các hàm thực trơn trên $X$ và $x$ là một điểm của $X$ thì tập hợp tất cả các hàm trơn $f$ với $f(x)=0$ tạo thành một ideal tối đại, và do đó nguyên tố, của $R$.
• Lấy $R=\mathbb {C} [x;y]$ là vành đa thức hai biến hệ số phức, khi này ideal sinh bởi đa thức elliptic $y^{2}-x^{3}-x-1$ là một ideal nguyên tố.
• Trong vành đa thức hệ số nguyên $\mathbb {Z} [x]$, ideal $(2,x^{2}+5)$ không phải là ideal nguyên tố, do đa thức $f(x)=x^{2}+5-3.2=x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ thuộc ideal này nhưng không có nhân tử bậc nhất nào thuộc ideal nói trên.

Tính chất

• Một ideal $I$ của một vành $R$ (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi $(0)$ là một ideal nguyên tố.
• Trong vành giao hoán $R$ có ít nhất hai phần tử, nếu mọi ideal thật sự của $R$ đều nguyên tố thì $R$ là một trường.
• Bằng hệ quả của định lý Krull hoặc bổ đề Zorn, do mọi vành đều tồn tại ít nhất một ideal cực đại, nên mọi vành $R$ đều tồn tại ít nhất một ideal nguyên tố.
• Nghịch ảnh của một ideal nguyên tố qua một đồng cấu vành là ideal nguyên tố. Tuy nhiên, nghịch ảnh của ideal cực đại thì chưa chắc cực đại.
• Tổng của hai ideal nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành $\mathbb {C} [x,y]$ có các ideal nguyên tố $P=(x^{2}+y^{2}-1)$ và $Q=(x)$. Tổng của chúng là $P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)$ không phải là nguyên tốt: $y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q$ nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong $P+Q$.
• Ideal nguyên tố không giống với số nguyên tố ở điểm, có những ideal mặc dù không thể phân tích thành giao của một số các ideal con nhưng không phải là ideal nguyên tố. Ví dụ, ideal $(x,y^{2})$ trong vành đa thức hai biến hệ số hữu tỉ $\mathbb {Q} [x;y]$ dù không thể phân tích được, nhưng không là ideal nguyên tố.

Ideal nguyên tố trong các vành không giao hoán

Các ideal hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau: một ideal (hai phía) $I$ của một vành $R$ (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một ideal nguyên tố nếu $I\neq R$ và với mọi ideal (hai phía) ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subset R$, ta có: ${\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\subset I\implies {\mathfrak {A}}\subset I{\text{ hoặc }}{\mathfrak {B}}\subset I$.

Thư mục

• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
• Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
• Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
• Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài

• Hazewinkel, Michiel, biên tập (2001), "Prime ideal", Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4