I-đê-an nguyên tố
Giao diện
Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.
I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán
[sửa | sửa mã nguồn]Một i-đê-an của một vành giao hoán được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:[1][2]
- Nếu và là hai phần tử của sao cho tích là phần tử của , thì là phẩn tử của hoặc là phần tử của .
- không phải là toàn bộ vành
Ví dụ
[sửa | sửa mã nguồn]- Với tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là .
- Trong một vành , một i-đê-an tối đại là một i-đê-an tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của , tức là được chứa trong chính xác hai i-đê-an của : và . Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.[2]
- Nếu là một đa tạp trơn, là vành các hàm thực trơn trên và là một điểm của thì tập hợp tất cả các hàm trơn với tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của .
Tính chất
[sửa | sửa mã nguồn]- Một i-đê-an của một vành (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi là một i-đê-an nguyên tố.[1]
- Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành có các i-đê-an nguyên tố và . Tổng của chúng là không phải là nguyên tốt: nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong .
I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán
[sửa | sửa mã nguồn]Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:[3][4]: một i-đê-an (hai phía) của một vành (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu và với mọi i-đê-an (hai phía) , ta có: .
Tham khảo
[sửa | sửa mã nguồn]Thư mục
[sửa | sửa mã nguồn]- Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
- Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
- Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
- Lang, Serge, 2002, Algebra
Liên kết ngoài
[sửa | sửa mã nguồn]- Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Prime ideal”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4