Hàm liên tục

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm liên tục trên [sửa | sửa mã nguồn]

Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy.

là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực , tập con gọi là miền xác định của .

Khoảng mở trên

Khoảng đóng trên

Ở đây là số thực.

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm gọi là liên tục tại điểm trên miền xác định nếu giới hạn của khi tiến dần về tồn tại và bằng giá trị của . Ta viết:

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là xác định tại , 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng .

Hàm là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy[sửa | sửa mã nguồn]

Cho dãy bất kì trên miền xác định hội tụ về , thì tương ứng dãy hội tụ về

Biểu diễn liên tục theo delta-epsilon
Đồ thị hàm

Định nghĩa liên tục theo delta-epsilon[sửa | sửa mã nguồn]

Cho bất kì số thực , tồn tại số thực sao cho với mọi trong miền xác định của với , giá trị của thỏa

Liên tục của tại là với mọi , tồn tại sao cho với mọi

Đồ thị hàm trên

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm liên tục trên miền xác định

Phản ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ về hàm không liên tục với , lấy với mọi , khi đó không tồn tại sao cho

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Định lí giá trị trung bình[sửa | sửa mã nguồn]

Cho là liên tục, giả sử nằm giũa . Khi đó tồn tại ít nhất một sao cho .

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lí giá trị cực[sửa | sửa mã nguồn]

Cho khoảng (khoảng đóng và bị chặn) và là liên tục, khi đó giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại sao cho với mọi .

Định lí điểm cố định[sửa | sửa mã nguồn]

Cho , liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một sao cho .

Quan hệ với tính khả tíchkhả vi[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi hàm khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

là liên tục trên nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm của hàm khả vi không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm .

Xét tập các hàm

Trong đó tập con mở trong sao cho hàm khả vi liên tục đến bậc .

Tập các hàm này là không gian .

Mọi hàm

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm

Đồ thị hàm

Liên tục đều[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử là tập con của khi đó

liên tục đều trên nếu với mọi cho trước tồn tại chỉ phụ thuộc vào sao cho thì

Ví dụ như hàm

Dãy hàm liên tục hội tụ về hàm không liên tục

Hội tụ của dãy hàm liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Cho dãy

các hàm liên tục sao cho

tồn tại với mọi , khi đó hàm giới hạn từng điểm của hãy , hàm không nhất thiết liên tục cho dù là liên tục.

Tuy nhiên nếu liên tục, khi đó dãy hội tụ đều

Hàm không liên tục mọi nơi[1][sửa | sửa mã nguồn]

Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định. Hàm Dirichlet

Cho là hai số thực(thường lấy ), định nghĩa bởi

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

Nếu là tập con bất kì của không gian tô pô sao cho cả phần bù của trù mật trong sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[2]

Liên tục trên không gian mêtric[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ liên tục tại nếu

hay với mọi tâm tại khi đó tâm tại sao cho

.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho không gian mêtric, tập con của thì với là liên tục.

Liên tục Lipchitz[3][sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai không gian mêtric với là mêtric trên là mêtric trên .

liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số sao cho với mọi

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm liên tục Lipchitz với .

Liên tục Holder[3][sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai không gian mêtric với là mêtric trên mêtric trên , với số thực.

liên tục Holder nếu tồn tại hằng số sao cho với mọi

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

liên tục Holder với , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy[4][sửa | sửa mã nguồn]

Cho là hai không gian mêtric, là hàm từ vào .

Hàm liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì trong , dãy là dãy Cauchy trong .

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên liên tục Cauchy.

ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Trên đường thẳng thực liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm khi khi với mọi số hữu tỉ . Hàm này liên tục trên nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô[sửa | sửa mã nguồn]

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X
  • Cho là hai không gian tô pô. Ánh xạ là liên tục tại điểm trong nếu mọi tập mở trong chứa thì có tập mở của chứa sao cho chứa trong . Ta nói liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm trên .
  • Lân cận của điểm là tập con của chứa tập mở chứa . Lân cận không cần phải mở.
  • liên tục tại nếu mọi tập mở chứa thì tập là lân cận của .[5]

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [6] của tập mở là tập mở. Hay liên tục khi và chỉ khi với mọi mở trong thì mở trong .
Chứng minh
() Giả sử rằng là liên tục. Cho là tập mở trong . Cho . Vì liên tục tại là lân cận mở của thì có mở chứa sao cho chứa trong . Do đó là mở.
() Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho , là lân cận mở của . Khi đó là tập mở chứa , và chứa trong . Vì thế liên tục tại .

Một số tính chất và mệnh đề[7][sửa | sửa mã nguồn]

  • Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
  • Cho là hai không gian tô pôcơ sở của tô pô trên . Khi đó liên tục nếu và chỉ nếu là mở trong với mọi .
  • Cho với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức với là liên tục.
  • Giả sử là liên tục. Nếu dãy trong hội tụ về khi đó dãy trong hội tụ về .
  • Cho liên tục. Khi đó hàm hợp là liên tục.
  • Cho là hai không gian tô pô, không gian con của . Cho liên tục. Khi đó liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông[7][sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho liên tục, nếu liên thông thì liên thông.
  • Cho liên tục, nếu liên thông đường thì liên thông đường.
  • Cho không gian tô pô liên thông, và liên tục. Nếu , khi đó . (Định lí giá trị trung bình mở rộng)
  • Cho liên tục, khi đó tồn tại sao cho .

Liên tục trong không gian tô pô compact[7][sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho liên tục, nếu compact thì compact.
  • Cho compact và là liên tục, khi đó giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại sao cho với mọi .
  • Cho khoảng đóngbị chặn trong . Giả sử là liên tục. Khi đó ảnh của khoảng đóngbị chặn trong .
Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ đi từ không gian tô pô vào không gian tô pô
Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Cho là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với xác định:
liên tục và không liên tục.
Ví dụ 2: Xét với , có là hai cơ sở. Ánh xạ
với biến mỗi phần tử trong thành một phần tử trong ánh xạ ngược của ánh xạ
với
Ánh xạ liên tục.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)[sửa | sửa mã nguồn]

Cho là không gian tô pô, là hai tập con đóng của sao cho . Giả sử rẳng là liên tục và . Khi đó xác định bởi:

thì liên tục trên .

Liên tục thông qua lưới[sửa | sửa mã nguồn]

Cho là 2 không gian tô pô. Khi đó là liên tục tại nếu và chỉ nếu khi nào có lưới trong hội tụ về , thì lưới hội tụ về .
Viết theo kí hiệu quen thuộc: liên tục tại nếu và chỉ nếu với mọi lưới .

Liên tục trên không gian tích[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho , tập chỉ số. Khi đó

là liên tục khi và chỉ khi liên tục với mọi thuộc

  • Ánh xạ chiếu liên tục.
  • Ánh xạ liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần liên tục.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm , cho bởi:

Mở rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Tô pô sinh bởi ánh xạ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho không gian tô pô, là một tập, và là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên sao cho liên tục.
Yêu cầu của là nếu thì
Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[8] trên thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm liên tục.
Mặt khác, họ là tô pô thực sự trên . Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.
  • Cho là một tập, không gian tô pô, và là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên sao cho liên tục.
Yêu cầu của là nếu thì .
Tôpô rời rạc trên là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.
Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ sinh ra thì được sinh bởi họ .

Đồng phôi[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
  • Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
  • Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là , nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân
  • Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục từ không gian tô pô vào không gian tô pô được định nghĩa là ánh xạ từ tích của không gian với đoạn đơn vị vào sao cho với mỗi thuộc ta có .
  • Nếu ta nghĩ tham số thứ 2 của như là "thời gian", khi đó mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ thành ánh xạ : tại thời điểm ta có ánh xạ và tại thời điểm ta có ánh xạ .
  • Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ vào . Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu là đồng luân và là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng : là đồng luân

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Cho là ánh xạ biến
Ta thấy là tô pô mịn nhất sao cho liên tục.
Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn
Ví dụ 3: Một biến đổi đồng luân

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ [1]
  2. ^ [2]
  3. ^ a ă [3]
  4. ^ [4]
  5. ^ Lecture notes on Topology, trang 14, HCMUS.
  6. ^ [5],
  7. ^ a ă â Introduction to topology pure and applied của Colin Adam và Robert Franzosa
  8. ^ The trivial toplogy

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]