Định lý Green

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, định lý Green' đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C vàa tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

C là một đường đơn đóngđịnh hướng dương trong mặt phẳng 2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu LM là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì[1][2]

Mối liên hệ với định lý Stokes[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi . Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

Theo định lý Stokes thì:

Mặt chỉ là một miền trong mặt phẳng, với vector định chuẩn hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả 2 định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

Mối liên quan với định lý Gauss[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

với là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là . Chiều dài của vec tơ này là . Do vậy

Bây giờ hãy để . Khi đó vế phải sẽ trở thành

mà do định lý Green sẽ trở thành

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường.[3] Diện tích của miền D được cho bởi:

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:[3]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  3. ^ a ă Stewart, James. Calculus (ấn bản 6). Thomson, Brooks/Cole. 

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]