Định lý Tychonoff

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Trong tô pô, định lý Tychonoff (định lý Tikhonov) được phát biểu là tích của một họ các không gian tôpô compact là một không gian compact.[1] Định lý này được đặt tên sau khi Andrey Nikolayevich Tychonoff chứng minh được nó năm 1930 cho những khoảng đóng đơn vị và năm 1935 chứng minh đầy đủ hơn cho các hợp đặc biệt. Chứng minh được công bố sớm nhất chứa trong kết quả bài báo của Eduard Čech.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Tích của một họ bất kỳ các không gian compact thì compact trong tô pô tích đó.[1]

Chứng minh định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Cho compact . Chúng ta sẽ chứng minh: compact thông qua đặc trưng tập đóng trong Định lý về đặc trưng qua tập đóng của tập compact.[2]

Cho là một họ bất kỳ các tập con đóng của có tính giao hữu hạn. Ta chứng minh có phần giao khác rỗng, tức là .

Xét họ với là tập con đóng của có phần giao hữu hạn. Vì compact nên có phần giao khác rỗng. Suy ra có

Từ đó cho thấy có phần giao khác rỗng, nhưng điều đó là không đúng như hình vẽ sau:

Phản ví dụ

Khi đó ý tưởng của Tikhonov là mở rộng họ

, là cực đại dưới tính giao hữu hạn. (Bổ đề Zorn)

Sẽ lặp lại lý luận trên với thay vì .

Xét họ

là họ các tập con đóng của có tính giao hữu hạn.

compact nên tồn tại

Cho

Chứng minh

tức là chứng minh

Lấy một lân cận bất kỳ của có dạng vớimở trong

Do nên là điểm dính của suy ra chứa điểm của .

Nên

với mọi
với mọi

Suy ra vẫn có tính giao hữu hạn.

Do là cực đại dưới tính giao hữu hạn nên .

Suy ra

với mọi
với mọi

Suy ra

Vậy hay .

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă “Tychonoff Theorem”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  2. ^ Huỳnh, Quang Vũ (2012). “Lecture notes on topology”. Ho Chi Minh city University of Science. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]