Không gian tôpô tích

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong tô pô và các ngành toán học liên quan, không gian tíchtích Descartes của một họ không gian tô pô được trang bị một tôpô gọi là tô pô tích. Tô pô này khác với các loại khác, điển hình là tô pô hộp. Tô pô hộp của một không gian tích trở thành tô pô tích khi nó xác định trên không gian hữu hạn. Tuy vậy, tô pô tích cho phép không gian tích thực hiện được phép tích đối với các nhân tử của nó.[1][2]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian X thỏa mãn[1]

là tích Descartes của không gian tô pô , đánh số bởi , và phép chiếu : , tô pô tích trên được định nghĩa là tô pô yếu nhất (hay tô pô có ít tập mở nhất) đối với mọi phép chiếu liên tục . Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff.[1][3]

  • Trường hợp là không gian tô pô, thì tô pô tích trên là tô pô sinh bởi cơ sở với là một cơ sở của tô pô là một cơ sở cho tô pô Y

Cho được định nghĩa bởi và cho được định nghĩa bởi . thì họ với mở trong mở trong là một cơ sở con của tô pô .

  • Trường hợp tích vô hạn

là một họ được đánh chỉ số các không gian tô pô, Định nghĩa tô pô tích trên là tô pô sinh bởi . có một cơ sở là Tô pô tích trên có cơ sở là những tập có dạng với mở trong cho mỗi trừ ra hữu hạn giá trị .

  • Tô pô hộp là tô pô trên có cơ sở là những tập có dạng với mở trong cho mỗi .

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Hình trụ đặc có bán kính 1
Hình xuyến
  1. Tích Tôpô là hình trụ đặc có bán kính đáy 1, chiều cao 1 như hình vẽ.
  2. Tôpô trên như là tích các không gian tô pô Euclid của là tô pô Euclid.[3]
  3. Hình xuyến là một mặt đóng trong , nhưng cũng có thể định nghĩa nó là như tích tô pô trong đó đường tròn (hoặc cung kín) trong . Theo cách này có thể coi hình xuyến là không gian tô pô con của . Tô pô của là không gian tô pô con giống như tập con của .[3]
  4. Trong , cho dãy khoảng mở trong , tập là một tập mở cơ sở cho tô pô hộp, chú ý tập này không mở trong tô pô tích.
  5. Tập là một tập mở cơ sở của tô pô tích .

Tính Chất[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian tích , cùng với phép chiếu chuẩn tắc, đặc trưng bởi tính chất phổ quát sau:

  • Tô pô tích là tô pô thô nhất trên sao cho tất cả các ánh xạ chiếu liên tục. Hay nói cách khác, tô pô tích là tô pô sinh bởi những ánh xạ chiếu.
  • Nếu là một không gian tô pô, và đối với mỗi , là một ánh xạ liên tục, thì tồn tại một ánh xạ liên tục sao cho mỗi tuân theo biểu đồ giao hoán:
Tính chất đặc trưng của không gian tích.

Nó thể hiện không gian tích là tích phạm trù của các không gian tô pô. Từ tính chất phổ quát trên, ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu liên tục cho mọi . Trong nhiều trường hợp có thể dễ dàng kiểm tra rằng hàm là liên tục. Tuy nhiên chứng minh liên tục thì khó hơn; và cần đến giả thiết liên tục.

Để thỏa mãn tính liên tục, phép chiếu chuẩn tắc cần thêm tính chất là những ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là bất kỳ tập con mở nào của không gian tích vẫn là mở khi thực hiện chiếu chúng vào . Điều ngược lại không đúng: nếu là không gian con của không gian tích mà phép chiếu vào mọi là mở, thì không cần thiết là không gian mở trong .Các phép chiếu chuẩn tắc nói chung không phải là ánh xạ đóng (ví dụ , mà phép chiếu lên hai trục tọa độ là ).

Tô pô tích còn gọi là tô pô hội tụ theo từng điểm bởi vì: một dãy số (hoặc lưới) trong X hội tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không gian hội tụ. Đặc biệt, nếu xét không gian của mọi hàm giá trị thực trên , sự hội tụ trong tô pô tích là giống với sự hội tụ theo điểm của hàm số.

  • Ánh xạ vào không gian tích là liên tục khi và chỉ khi tất cả các ánh xạ thành phần là liên tục.
  • Tích các tập con đóng bất kỳ là tập đóng trong .

Một định lý quan trọng về tô pô tích là định lý Tychonoff: tích của một họ không gian compact bất kỳ là compact. Định lý này có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp hữu hạn, trong khi trường hợp tổng quát tương đương với tiên đề chọn.[4]

Liên quan đến khái niệm tôpô khác[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă â “Product topology”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  2. ^ “Product topology”. Planet Math. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  3. ^ a ă â John O'Connor. “The product topology”. University of St Andrews, Scotland. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  4. ^ “Tychonoff Theorem”. mathworld.wolfram.com. Truy cập ngày 30 tháng 5 năm 2013. 
  5. ^ Product topology preserves the Hausdorff property trên PlanetMath.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]