Đường tròn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.

Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.

Đường tròn
Một đường tròn (đen) với chu vi (C), đường kính (D, xanh), bán kính (R, đỏ) và tâm (O, hồng)

Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương.

Thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hình khuyên (hình nhẫn): vùng bị giới hạn bởi 2 đường tròn đồng tâm.
  • Cung: một đoạn đóng bất kì trên đường tròn.
  • Tâm: điểm cách đều tất cả các điểm trên đường tròn.
  • Dây cung: đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn.
  • Chu vi hình tròn: độ dài đường biên giới hạn hình tròn.
  • Đường kính: đoạn thẳng có 2 đầu mút nằm trên đường tròn và đi qua tâm, hoặc khoảng cách dài nhất giữa 2 điểm trên đường tròn. Đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn và bằng 2 lần bán kính.
  • Hình tròn: phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn.
  • Bán kính: là đoạn thẳng (hay độ dài đoạn thẳng) nối tâm với một điểm bất kì trên đường tròn và bằng một nửa đường kính.
  • Hình quạt tròn: phần của hình tròn giới hạn bởi hai bán kính và cung tròn chắn bởi hai bán kính này.
  • Hình viên phân: phần bị giới hạn bởi cung tròn và dây căng cung.
  • Cát tuyến: đường thẳng trên mặt phẳng cắt đường tròn tại 2 điểm.
  • Hình bán nguyệt: cung căng đường kính. Thông thường, thuật ngữ này còn ba gồm đường kính, cung căng đường kính và phần bên trong, tức nửa hình tròn. Nửa hình tròn là một hình viên phân đặc biệt, là hình viên phân lớn nhất.
  • Tiếp tuyến: đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.
Dây cung, đường kính, bán kính, cát tuyến và tiếp tuyến của đường tròn
Hình quạt tròn và cung tròn (cung)

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Chiếc com-pa trong bản thảo viết tay từ thế kỉ 13 là biểu tượng của Đấng tạo hóa. Đồng thời vòng hào quang cũng có dạng tròn.

Từ circle có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), nghĩa là "vòng" hay "nhẫn".[1]

Một mảnh lụa Mông Cổ hình tròn
Đường tròn trong những bản vẽ thiên văn Ả Rập cổ.

Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử ghi nhận được. Những hình tròn trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời, ... Đường tròn là nền tảng để phát triển bánh xe, mà cùng với những phát minh tương tự như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc hiện đại. Trong toán học, việc nghiên cứu đường tròn đã dẫn đến sự phát triển của hình học, thiên văn họcvi tích phân.

Khoa học sơ khai, đặc biệc là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ kết nối với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình tròn.[2][3]

Một số dấu mốc trong lịch sử đường tròn:

  • 1700 trước Công nguyên– Bản giấy cói Rhind đưa ra phương pháp để tính diện tích hình tròn. Kết quả tương đương với 256/81 (3.16049...) như một giá trị xấp xỉ của π.[4]
  • 300 trước Công nguyên – Quyển 1, Quyển 3 của bô sách Cơ sở của Euclid đưa ra định nghĩa và bàn về những tính chất của đường tròn.
  • Trong Bức thư thứ bảy của Plato có một định nghĩa chi tiết và giải thích về đường tròn. Plato viết về một đường tròn hoàn hảo, và sự khác biệt của nó với bất kì hình vẽ, giải thích hay định nghĩa nào khác.
  • 1880 – Lindemann chứng minh được πsố siêu việt, giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương hình tròn sau hơn một thiên niên kỷ.[5]
Tháp Tughrul nhìn từ bên trong

Kết quả phân tích[sửa | sửa mã nguồn]

Chu vi đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Tỉ số của chu vi đường tròn với đường kính của nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của đường tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:

Diện tích bao kín[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Diện tích hình tròn

Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn của Archimedes, diện tích hình tròn A bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn,[6] tức A bằng π nhân cho bình phương bán kính:

Tương tự, ký hiệu đường kính là d,

tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là d). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước.

Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa độ Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn có bán kính r = 1, tâm (a, b) = (1.2, −0.5)

Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại (a, b) và bán kính r là tập hợp tất cả các điểm (x, y) thỏa mãn:

Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |xa| và |yb|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:

Phương trình có thể viết dưới dạng tham số sử dụng các hàm lượng giác sin và cosine như sau

với t là tham số trong khoảng từ 0 đến 2π, một cách hình học, t tương đương với góc tạo bởi tia đi qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình tham số khác của đường tròn là:

Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, t không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện.

Trong hệ tọa độ đồng nhất, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng:

Hệ tọa độ cực[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là:

với a là bán kính của đường tròn, là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức r0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và φ góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức r0 = 0, thì được đơn giản hóa còn r = a. Khi r0 = a, hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:

Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho r

Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số trường hợp phương trình chỉ mô tả nửa đường tròn.

Mặt phẳng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại c và bán kính (r) có phương trình . Ở dạng tham số hóa: .

Phương trình tổng quát cho các số thực p, q và số phức g đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với , vì . Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng.

Đường tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tiếp tuyến qua một điểm P trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua P. Nếu P = (x1, y1) và đường tròn có tâm (a, b) và bán kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua (a, b) và (x1, y1), nên nó có dạng (x1a)x + (y1b)y = c. Tính với (x1, y1) xác định giá trị của c và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:

hay

Nếu y1b thì độ dốc của đường thẳng là

Kết quả này cũng có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn.

Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là

và độ dốc của nó là

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Hình tròn

Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tạp hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính Đường tròn không có diện tích như hình tròn mà chỉ có chu vi.

Cung tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Cung tròn

Cung tròn là phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm, là quỹ tích-tập hợp các điểm thuộc đường tròn nằm giữa hai điểm.

Đoạn thẳng nối hai đầu mút của cung tròn được gọi là dây cung của cung tròn đó. Dây cung không thuộc đường tròn (vì nó chỉ chung với đường tròn tại hai điểm mút đó, còn các điểm khác thì không), mà thuộc hình tròn.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  2. ^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
  3. ^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Tập 2, Chương 2, "Of Plato"
  4. ^ Chronology for 30000 BC to 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013.
  5. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013.
  6. ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bản 2), Addison Wesley Longman, tr. 108, ISBN 978-0-321-01618-8 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê