Hệ tọa độ cực

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Các điểm trong hệ tọa độ cực với gốc Cực O và trục Cực L. Với minh họa màu xanh lá cây điểm (màu đỏ) có bán kính 3 và góc 60 độ, hoặc (3,60°). Với minh họa màu xanh da trời điểm có tọa độ (4,210°).

Trong toán học, hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng 2 thành phần:

  • Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc O (gốc Cực) gọi là bán kính.
  • Góc tạo bởi đường thẳng OM với hướng gốc cho trước (trục Cực).

Hệ tọa độ cực hữu ích trong những trường hợp trong đó quan hệ giữa hai điểm dễ được viết dưới dạng góc và khoảng cách. Trong các hệ tọa độ thông thường như hệ tọa độ Descartes, quan hệ này chỉ có thể được biểu diễn dưới dạng công thức lượng giác.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Hipparchus

Khái niệm góc và bán kính đã được người xưa sử dụng từ thế kỷ thứ nhất trước Công nguyên. Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí các thiên hà.[1] Trong tác phẩm On Spirals, Archimedes đã mô tả đường xoắn ốc Ác-si-mét, một hàm mà bán kính của nó phụ thuộc vào góc. Tuy nhiên, công trình của nhà khoa học Hi Lạp không đủ để xây dựng một hệ tọa độ đầy đủ.

Từ thế kỷ thứ 8 trở về sau, các nhà thiên văn đã phát triển các phương pháp cho việc xấp xỉ và tính toán phương hướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến Thánh địa Mecca (Qibla). Sau thế kỷ thứ 9, họ đã sử dụng lượng giác hình cầu và các phép chiếu bản đồ để tính toán những con số này một cách chính xác. Việc tính toán về cơ bản là chuyển tọa độ cực xích đạo của Mecca thành tọa độ cực của chính Thánh địa đó so với một hệ thống có kinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và các cực của Trái Đất, và có trục cực là đường thẳng qua các vị trí này và điểm đối cực của nó.

Có nhiều lý giải khác nhau của lời giới thiệu tọa độ cực như là một phần của một hệ tọa độ chính quy. Lịch sử đầy đủ của chủ đề này đã được mô tả trong tác phẩm Origin of Polar Coordinates của giáo sư Harvard Julian Lowell Coolidge.  Grégoire de Saint-VincentBonaventura Cavalieri độc lập giới thiệu các khái niệm vào giữa thế kỷ XVII. Saint-Vincent đã viết chúng một cách riêng tư năm 1625 và xuất bản tác phẩm của mình vào năm 1647, trong khi Cavalieri xuất bản tác phẩm của ông vào năm 1635 và một phiên bản hiệu đính trong năm 1653. Lúc đầu Cavalieri sử dụng tọa độ cực để giải quyết một bài toán liên quan đến diện tích của vòng xoắn ốc Archimedean. Sau đó Blaise Pascal sử dụng để tính độ dài của vòng cung parabol.

Trong cuốn Method of Fluxions (viết năm 1671, xuất bản 1736), Isaac Newton đã khảo sát sự chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực, mà ông gọi là "Phương pháp Thứ bảy; Dành cho xoắn ốc", và chín hệ toạ độ khác. Trong tạp chí Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli đã sử dụng một hệ gồm một điểm nằm trên một đường thẳng, gọi là cực và trục cực tương ứng. Các tọa độ được xác định bằng khoảng cách từ cực và góc từ trục cực. Công trình của Bernoulli đã mở rộng cách tìm bán kính cong của các đường cong biểu diễn qua những tọa độ này.

Thực tế thuật ngữ tọa độ cực được công nhận do Gregorio Fontana đưa ra và được sử dụng bởi các nhà văn Italia thế kỷ 18. Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh tại bản dịch Differential and Integral Calculus[2][3] của Lacroix do George Peacock dịch năm 1816. Alexis Clairaut là người đầu tiên suy nghĩ về tọa độ cực trong không gian ba chiều, và Leonhard Euler là người đầu tiên thực sự phát triển các ý tưởng đó[4].

Quy Ước[sửa | sửa mã nguồn]

Một lưới cực với nhiều góc dán nhãn tính theo độ

Toạ độ bán kính thường được ký hiệu là r hoặc ρ, và toạ độ góc bởi ϕ, θ, hoặc t. Toạ độ góc được quy định là ϕ theo tiêu chuẩn ISO 31-11.

Các góc trong ký hiệu cực thường được biễu diễn bằng một trong hai đơn vị đo độ là độ hoặc radian (2π rad là bằng 360°). Thông thường độ được sử dụng trong điều hướng, bản đồ, và nhiều lĩnh vực ứng dụng khác, trong khi radian phổ biến hơn trong toán học và vật lý toán học.

Trong nhiều trường hợp, một toạ độ góc ϕ dương nghĩa là góc ϕ được đo ngược chiều kim đồng hồ so với trục.

Trong văn bản toán học, các trục cực thường được vẽ theo chiều ngang và quay về bên phải.

Tính duy nhất của tọa độ cực[sửa | sửa mã nguồn]

Thêm bất kỳ số vòng xoay nguyên (360°) vào toạ độ góc sẽ không thay đổi phương hướng của góc ban đầu. Ngoài ra, một toạ độ bán kính âm nên được hiểu là khoảng cách dương tương ứng đo theo chiều ngược lại. Do đó, cùng một điểm có thể được biểu diễn bằng vô hạn các tọa độ cực khác nhau (rϕ ± n×360°) hoặc (−rϕ ± (2n + 1)180°), trong đó n là số nguyên bất kỳ. Hơn nữa, bản thân cực có thể được biểu diễn thành (0, ϕ) với góc ϕ bất kỳ.

Trong trường hợp cần một biểu diễn duy nhất đối với mọi điểm, cần giới hạn r là các số không âm (r ≥ 0) và ϕ nằm trong khoảng [0, 360°) hoặc (−180°, 180°] (trong độ radian, [0, 2π) hoặc (-π, π])[5]. Người ta cũng phải chọn một góc phương vị riêng cho cực, ví dụ, ϕ = 0.

Chuyển đổi giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Một sơ đồ minh họa mối quan hệ giữa tọa độ cực và toạ độ Descartes.

Các tọa độ cực rϕ có thể chuyển đổi thành các tọa độ Descartes xy bằng cách sử dụng các hàm lượng giác sin và cosin:

Các tọa độ Descartes xy có thể được chuyển đổi sang tọa độ cực r và ϕ với r ≥ 0 và ϕ nằm trong khoảng (-π, π] bằng công thức[6]:

(Như trong định lý Pythagore hoặc tiên đề Euclid), và

,

với atan2 là một biến thể phổ biến trên hàm số arctan định nghĩa là:

Đường cong trên mặt phẳng Descartes có thể được ánh xạ vào tọa độ cực. Trong hình ảnh động này, được ánh xạ lên . Click vào ảnh để xem chi tiết.

Giá trị của góc ϕ ở trên là giá trị chủ yếu của hàm số phức arg áp dụng cho x+iy. Một góc trong khoảng [0, 2π) có thể thu được bằng cách cộng 2π vào giá trị của nó trong trường hợp nó âm.

Phương trình cực của đường cong[sửa | sửa mã nguồn]

Giao điểm của hai đường cong cực[sửa | sửa mã nguồn]

Số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ với tọa độ hình cầu và tọa độ hình trụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

General
  • Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). Calculus . Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8. 
  • Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits (tháng 6 năm 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic . Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X. 
Specific
  1. ^ Friendly, Michael. “Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization”. Truy cập ngày 10 tháng 9 năm 2006. 
  2. ^ Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Đính chính 2006-09-10.
  3. ^ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. trang 324.
  4. ^ Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 59 (2): 78–85.doi:10.2307/2307104. JSTOR 2307104.
  5. ^ Stewart, Ian; David Tall (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28763-4.
  6. ^ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-59461-8.