Elíp

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một elíp (tiếng Anh, tiếng Pháp: ellipse) là quỹ tích các điểm trên một mặt phẳngtổng các khoảng cách đến hai điểm cố địnhhằng số F1M + F2M = 2a. Hai điểm cố định F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm. Elipse là một trong ba đường cô-nic.

Đường Elip trong hình nón

Định nghĩa và cách vẽ

Định nghĩa

Cho hai điểm F1 và F2 cố định với F1F2 = 2c ( c > 0).

Đường ellipse (còn gọi là ellipse hay oval) la tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó a là số chẵn cho trước lớn hơn c.

Quỹ đạo đường F1MF2 là một đường Elipse.

Hai điểm F1 và F2 là các tiêu điểm của Ellipse. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của Ellipse.

Cách vẽ

Vẽ bằng dây.

- Đóng đinh lên mặt phẳng tại hai điểm F1 và F2.

- Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F1F2. Quàng sợi dây vào hai chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành hình tam giác. Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường ellipse.

Phương trình chính tắc đường Ellipse :

Cho hình elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thằng F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox.

Đường elipse E

Giả sử điểm M(x ; y) nằm trên elipse (E). Tính MF21 - MF22 rồi sử dụng định nghĩa MF1 + MF2 để tính MF1 - MF2. Từ đó suy ra :

MF1 = a + \frac{cx}{a} và MF2 = a - \frac{cx}{a}.

Các đoạn thẳng MF1 , MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.

Bây giờ ta lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên.

Ta có

MF1 = a + \frac{cx}{a} = \sqrt {(x + c)^2 + y^2} hay(a + \frac {cx}{a})^2 = (x + c)^2 + y^2.

Rút gọn đẳng thức trên ta được ( 1 - \frac{c^2}{a^2}) x^2 + y^2 = a^2 -c^2, hay \frac{x^2}{a^2} + \frac {y^2}{a^2 - c^2} = 1. Vì a2 - c2 > 0 nên ta có thể đặt a2 - c2 = b2 (với b > 0) và được phương trình chính tắc của elip đã cho :

\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1 (với a > b > 0).

Ngược lại ta có thể chứng minh rằng : Nếu điểm M có tọa độ (x ; y) thỏa mãn phương trình trên thì

MF1 = a + \frac{cx}{a} và MF2 = a - \frac{cx}{a} do đó MF1 + MF2 = 2a, tức là M thuộc elip (E).

Đặc điểm hình học

Elíp và một số đặc tính. F1 và F2 là các tiêu điểm; a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ; c là tiêu cự; e là độ dẹt(hay tâm sai)

Elíp có hai trục đối xứng (AB, CD trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn AB và nhỏ CD. Nửa chiều dài của các trục này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm e-líp đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).

Trong một elíp ta luôn có:

 c^2 = a^2 - b^2

Độ dẹt của elíp (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm của elíp) là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn:

 e = \frac{c}{a} (0 ≤ e < 1)

e = 0 khi 2 tiêu điểm trùng nhau và hình elíp lúc bấy giờ là hình tròn.

Trong hệ trục tọa độ Descartes, hình elíp có thể được tạo thành bằng cách đem nhân các tọa độ x của các tất cả điểm trên một đường tròn với một hằng số đồng thời không thay đổi các tọa độ y của các điểm đó.

Diện tích của hình e-líp với các bán trục ab được tính bởi:

S = \pi a b

Một tính chất quang hình học của e-líp là: Nếu e-líp là một mặt gương cong thì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của e-líp sau khi đến mặt cong sẽ phản xạ và đi qua tiêu điểm còn lại.

Hình elíp là một dạng của tiết diện hình nón: nếu mặt của hình nón được cắt bởi một mặt phẳng không cắt mặt đáy, đường giao nhau của hình nón và mặt phẳng đó được gọi là một hình elíp. Muốn xem cách chứng minh cơ bản, đọc bài "Khối cầu Dandelin".

Chú ý rằng ý nghĩa của a và b là khác so với hình bên cạnh

Biểu diễn dưới dạng phương trình đại số

Trong đại số, hình e-líp được định nghĩa bởi phương trình bậc hai sau:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Trong đó các hệ số A, B, C, D, E, F đều là số thựcB^2 < 4AC, Mỗi cặp nghiệm (x,y) tương ứng với một điểm thuộc hình elíp.

Hình E-líp

Một trường hợp đơn giản nhất, khi các bán trục của e-lip đều nằm trên các trục xy của hệ trục tọa độ vuông góc (tọa độ Descartes) thì phương trình được đơn giản hóa thành: Ax^2 + Cy^2 + F = 0

và có thể đưa về dạng chính tắc:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

trong đó ab là các bán trục của e-líp.

Elíp là một trong những đường cô-nic cơ bản.

Elíp tổng quát

Sự mở rộng khái niệm đường elíp lên các bậc cao khác ngoài hai hình thành đường siêu elíp en:Superellipse

\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1
Đường siêu elíp với hai số mũ khác nhau m ≠ n.

Tổng quát hơn nữa, ta có trường hợp đường elíp với hai số mũ khác nhau: m≠n

\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0.

nghĩa là:


\begin{align}
 x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\
 y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot b \sgn(\sin \theta)
\end{align}
  • Mở rộng lên không gian ba chiều, ta có Ellipsoid:
Quả trứng bằng đồng thau theo Piet Hein.
 \left(|x/a_x|^{2/e} + |y/a_y|^{2/e} \right)^{e/n} + |z/a_z|^{2/n} = 1. \,\!

Các phương trình tham số trong mặt phẳng chứa các tham số uv gồm

\begin{align}
 x(u,v) &{}= a_x c(v,n) c(u,e) \\
 y(u,v) &{}= a_y c(v,n) s(u,e) \\
 z(u,v) &{}= a_z s(v,n) \\
 & -\pi/2 \le v \le \pi/2, \quad -\pi \le u < \pi,
\end{align}

với các phương trình bổ trợ

\begin{align}
 c(\omega,m) &{}= \sgn(\cos \omega) |\cos \omega|^m \\
 s(\omega,m) &{}= \sgn(\sin \omega) |\sin \omega|^m
\end{align}

và hàm sgn(x) được định nghĩa như sau

 \sgn(x) = \begin{cases}
 -1, & x < 0 \\
  0, & x = 0 \\
 +1, & x > 0.
\end{cases}

Thể tích giới hạn bởi mặt này có thể được tính thông qua hàm beta, β(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n):

 V = \frac23 a_x a_y a_z e n \beta \left(\frac{e}2,\frac{e}2 \right) \beta \left(n,\frac{n}2 \right).

Xem thêm

Tham khảo

Liên kết ngoài

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê