Độ cong

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong chính là nghịch đảo của bán kính cong .

Gọi là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

Tính độ cong của một đường cong phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa độ Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số , từ phần trên ta có định nghĩa:

là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa góc tiếp tuyến của đường cong.

Lấy đạo hàm 2 vế theo thời gian ta được:

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số thì độ cong được tính như sau:

Trong hệ tọa độ cực[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số thì độ cong được tính như sau:

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng hay sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

hay công thức:

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn hay sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

hay công thức:

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Đường parabol sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

  • Đường ellipse sẽ có độ cong được tính như sau:

Áp dụng công thức ta có:

với là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh[sửa | sửa mã nguồn]

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes được tính theo công thức

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]