Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Độ cong của một đường cong

Định nghĩa

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong $R$ là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong $\kappa$ chính là nghịch đảo của bán kính cong $R$.

$\kappa ={\frac {1}{R}}$

Gọi $ds$ là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và $d\phi$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

$\kappa ={\frac {d\phi }{ds}}$

Tính độ cong của một đường cong phẳng

Trong hệ tọa độ Descartes

Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số ${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}$, từ phần trên ta có định nghĩa:

$\kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}$

$d\phi$ là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa $\phi$ là góc tiếp tuyến của đường cong.

$\tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}$

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số $t$ ta được:

${\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}$

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

$\kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}$

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số $y=f(x)$ thì độ cong được tính như sau:

$\kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}$

Trong hệ tọa độ cực

Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số $r=r(\theta )$ thì độ cong được tính như sau:

$\kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}$

Ví dụ

Đường thẳng

Đường thẳng ${\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}$ hay $y=ax+b$ sẽ có độ cong được tính như sau:

$x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$

Áp dụng công thức ta có:

$\kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0$

hay công thức:

$\kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0$

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn

Đường tròn ${\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}$ hay $r=R$ sẽ có độ cong được tính như sau:

$x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0$

Áp dụng công thức ta có:

$\kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}$

hay công thức:

$\kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}$

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác

• Đường parabol $y=ax^{2}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

${\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a$

Áp dụng công thức ta có:

$\kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}$

• Đường ellipse ${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}$ sẽ có độ cong được tính như sau:

$x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t$

Áp dụng công thức ta có:

$\kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}$

$={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}$

$={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}$

với $e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes ${\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}$ được tính theo công thức

$\kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$

Độ cong của một mặt cong

Độ cong Gauss

Bài chi tiết: Độ cong Gauss

Xem thêm

• Bán kính cong
• Đa tạp Riemann
• Hệ tọa độ Descartes
• Hệ tọa độ cực
• Hình học vi phân

Tham khảo

John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds