Phương trình

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

Trong đó được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) có là vế trái vì nó nằm bên tay trái, là vế phải vì nó nằm bên tay phải.

Ở (4) ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

Có nhiều cách để phân loại phương trình. Phân loại phương trình theo số ẩn ta có: phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.... Phân loại phương trình theo các phép toán trong phương trình ta có phương trình vô tỷ, phương trình mũ, phương trình lôgarit...

Cần chú ý phân biệt phương trình với đẳng thức, ở đây đẳng thức nên hiểu là khái niệm phương trình trong Số học, khi đó 2 vế của chúng chỉ là các số như sự thể hiện rằng giá trị hai hàm số luôn bằng nhau với mọi biến số. Khi cẩn thận, nên sử dụng dấu "" thay cho dấu "=" khi viết đẳng thức, như trong (3) ở trên.

Trong ngôn ngữ lập trình cho máy tính, người ta hay quy ước dùng dấu "==" cho phương trình và dấu "=" cho đẳng thức. Biểu diễn phương trình như vậy trong lập trình nhiều khi được nhận giá trị đúng khi hai vế bằng nhau và sai khi hai vế khác nhau.

Thuộc tính[sửa | sửa mã nguồn]

Do phương trình có 2 vế là các đa thức, do đó phương trình thể hiện đầy đủ tính chất của đa thức, tức là:

Với mọi phương trình không phân bậc, chúng có thuộc tính sau:

-Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số với điều kiện phép nhân và chia cùng một số khác 0 và không chứa ĐKXĐ.

-Bậc của phương trình là bậc của các đa thức, ở phương trình (4) thì nó là phương trình bậc 2.

-Rút gọn phương trình về tối giản tương tự như rút gọn đa thức không vi phạm ĐKXĐ.

-Căn bậc n hoặc nâng lũy thừa bậc n nếu các đa thức đều không âm hoặc cùng âm và không vi phạm ĐKXĐ.

-Các nghiệm phải thỏa mãn ĐKXĐ và làm 2 vế phương trình bằng nhau.

Chuyển vế đổi dấu thực chất là các phép cộng trừ tương ứng.

Điều kiện xác định (ĐKXĐ)[sửa | sửa mã nguồn]

Ta biết một đa thức có nghĩa khi nó không chia cho 0, căn bậc hai không âm (trên tập số thực) và ,.... do đó khi ta biến đổi một phương trình có thể thu được một phương trình có các nghiệm ngoại lai, ta vừa phải xét điều kiện xác định vừa phải xét xem nó có làm 2 vế phương trình cân bằng hay không. Do đó ĐKXĐ được hiểu là điều kiện để các biểu thức tổng phương trình có nghĩa dẫn đến phương trình có nghĩa.

giả sử ta có phương trình sau:

nếu ta trừ cả hai vế với là sai vì chứa ĐKXĐ của phương trình vì nếu giải như vậy phương trình thu được nghiệm là 1, do không tồn tại phép chia cho không nên cách giải của ta sai, phương trình này vô nghiệm.

Nghiệm của phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Nghiệm của phương trình là bộ tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình , vậy nghiệm của phương trình là vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau. hoặc hiểu theo công thức tổng quát, phương trình được gọi là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi , điều này định nghĩa tương tự với các phương trình nhiều ẩn khác như.

Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: . Xuất phát từ chữ cái tiếng Anh là Set có nghĩa là tập, nhóm.

Ví dụ về biểu diễn hình học của phương trình hai ẩn, các phương trình một ẩn có nghiệm luôn nằm tại một điểm trên trục số.

Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm, như thì có một nghiệm duy nhất là , hoặc cũng có thể có 2 nghiệm, như thì có 2 nghiệm đối nhau là , hoặc vô nghiệm như (Điều này xảy ra trên tập số thực) và có thể có vô số nghiệm như . Nhưng số nghiệm luôn luôn bé hơn hoặc bằng (khi trên tập số thực) và bằng (khi trên tập số phức) số bậc của phương trình. Đó là định lý cơ bản của Đại số, trong sách Giáo khoa Giải tích 12 có nói về điều này trong bài cuối cùng của chương Số phức.

Để giải các phương trình đều có các công thức nghiệm nhất định. Tuy nhiên người ta chứng minh được không có công thức nghiệm tổng quát cho các phương trình có số bậc cao hơn bậc 4. Hơn nữa công thức nghiệm của phương trình bậc 3 và 4 rất phức tạp nên không được đề cập đến trong chương trình Sách giáo khoa.

Xem thêm: Phương trình bậc bốn, Phương trình bậc n

Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn về nghiệm của phương trình.

Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương trình một ẩn.

2 phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này thành phương trình kia.

Các loại phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Các phương trình có thể được phân loại theo các loại hoạt động và số lượng liên quan. Các loại quan trọng bao gồm:

Vai trò[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình được coi như đóng vai trò đắc lực và sử dụng phổ biến nhất trong Toán học vì chỉ cần học xong chương trình cấp 2 ta đã có thể có kĩ năng giải phương trình bậc hai ứng dụng trong đời sống. Phương trình cũng là lý thuyết trọng tâm của Đại số và có thể nói không có phương trình thì không có Đại số. Nó cũng góp phần xây dựng các khái niệm khác như Hệ phương trình, bất phương trình,...

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong đại số
Các bất biến đại số | Các đa thức | Các đại số mang tên người | Các đẳng thức đại số | Các đường cong đại số | Các đường cong elíp | Các nhân thức | Các nhóm sóng | Các phép biến đổi đại số | Các phương trình đại số | Các tính chất đại số | Các tổng đại số | Cyclotomy | Dạng bình phương | Đại số homology | Đại số phi giao hoán | Đại số tuyến tính | Đại số tổng quát | Đại số véctơ | Đại số vô hướng | Hình học đại số | Lý thuyết giá trị | Lý thuyết mã hoá | Lý thuyết nhóm | Lý thuyết số | Lý thuyết trường đại số | Lý thuyết vòng

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]