Danh sách ký hiệu toán học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Một ký hiệu toán học là một hình hoặc tổ hợp các hình dùng để biểu diễn một vật thể toán học, một tác động lên vật thể toán học, một tương quan giữa các vật thể toán học, hoặc để sắp xếp những ký hiệu khác xuất hiện trong một công thức. Vì công thức sử dụng nhiều loại ký hiệu khác nhau, để biểu diễn toàn bộ toán học cần nhiều ký hiệu.

Những ký hiệu toán học đơn giản nhất bao gồm các chữ số thập phân (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), và các chữ cái trong bảng chữ cái Latin. Các chữ số thập phân được dùng để biểu diễn số qua hệ ghi số Ấn Độ–Ả Rập. Theo thông lệ, chữ cái viết hoa được dùng để biểu diễn điểm trong hình học, và chữ cái viết thường dùng cho biếnhằng số. Chữ cái cũng được dùng để biểu diễn nhiều loại vật thể toán học khác. Với sự phát triển của toán học và sự gia tăng về số lượng các đối tượng nghiên cứu, các nhà toán học cũng dùng đến bảng chữ cái Hy LạpHebrew. Trong công thức toán học, kiểu chữ tiêu chuẩn là in nghiêng chữ cái Latin và chữ cái Hy Lạp viết thường, và in đứng cho chữ cái Hy Lạp viết hoa. Để có thêm nhiều ký hiệu nữa, những kiểu chữ khác được sử dụng, bao gồm chữ đậm , chữ viết tay (chữ viết tay in thường ít được sử dụng vì dễ nhầm lẫn với kiểu chữ thông thường), fraktur tiếng Đức , và in đậm bảng đen (những chữ cái khác ít khi được sử dụng trong kiểu chữ này).

Những ký hiệu toán học sử dụng chữ cái Latin và Hy Lạp không được liệt kê ở đây. Đối với những ký hiệu đó, xem Biến sốDanh sách các hằng số toán học. Tuy nhiên, một số ký hiệu ở đây có hình dạng giống với chữ cái nguồn gốc của nó, ví dụ như .

Những chữ cái này thôi không đủ để đáp ứng nhu cầu của các nhà toán học, và nhiều ký hiệu khác được sử dụng. Một số xuất phát từ dấu câudấu phụ thường được dùng trong typography, trong khi một số khác hình thành bằng việc biến dạng chữ cái, như là . Ngoài ra, những ký hiệu như += được thiết kế đặc biệt cho toán học.

Hướng dẫn[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thường, những mục từ trong một bảng chú giải được sắp xếp theo chủ đề và theo thứ tự bảng chữ cái. Việc này là bất khả thi với danh sách này bởi các ký hiệu không có thứ tự nào rõ ràng, và nhiều ký tự được sử dụng ở nhiều nhánh toán học khác nhau với ý nghĩa khác nhau, nhiều khi không liên quan đến nhau. Do đó, bài viết phải đưa ra một số quyết định tùy ý, được tóm tắt sau đây.

Bài viết được chia thành các phần xếp theo mức độ chuyên môn tăng dần: tức là phần đầu tiên chứa các ký hiệu thường gặp trong hầu hết các văn bản toán học, và cần phải biết ngay cả đối với người mới bắt đầu. Ngược lại, những phần cuối chứa các ký hiệu chuyên dụng cho một số lĩnh vực toán học và không được sử dụng bên ngoài các lĩnh vực này. Tuy nhiên, phần về dấu ngoặc đã được đặt gần cuối vì độ dài, mặc dù hầu hết các ký hiệu trong phần nàylà sơ cấp: điều này giúp việc tìm kiếm mục ký hiệu dễ dàng hơn.

Hầu hết các ký hiệu đa nghĩa thường được phân biệt theo ngành học mà nó được dùng hoặc theo cú pháp của chúng, nghĩa là vị trí của chúng bên trong công thức và bản chất của các phần khác của công thức gần với chúng.

Vì người đọc có thể không nhận thức được lĩnh vực toán học có liên quan đến ký hiệu mà họ đang tìm kiếm, các ý nghĩa khác nhau của ký hiệu được nhóm lại trong phần tương ứng với ý nghĩa phổ biến nhất của chúng.

Trong trường hợp ý nghĩa phụ thuộc vào cú pháp, biểu tượng được sử dụng để biểu thị các thành phần lân cận của công thức chứa ký hiệu đó. Xem phần § Dấu ngoặc cho ví dụ chi tiết.

Phần lớn các ký hiệu có thể được hiển thị bằng hai cách: bằng ký tự Unicode, hoặc bằng LaTeX. Phiên bản Unicode cho phép sử dụng công cụ tìm kiếmsao chép và dán dễ hơn. Mặt khác, hiển thị bằng LaTeX cho kết quả đẹp hơn, và là tiêu chuẩn được sử dụng trong toán học. Do đó, trong bài viết này, phiên bản Unicode của ký hiệu được dùng (khi có thể) để đánh dấu mục, và phiên bản LaTeX được dùng trong phần giải thích. Để tìm cách gõ ký hiệu bằng LaTeX, người đọc có thể coi mã nguồn của bài viết.

Với hầu hết ký hiệu, dẫn mục là ký tự Unicode tương ứng. Vì vậy, để tìm mục của một ký tự, người đọc chỉ cần gõ hoặc dán ký tự Unicode vào thanh tìm kiếm. Tương tự, khi tên của biểu tượng cũng là một liên kết nếu có thể, cho phép dẫn những bài viết Wikipedia khác dễ dàng.

Phép toán số học[sửa | sửa mã nguồn]

+
1.  Ký hiệu phép cộng; ví dụ, 3 + 2.
2.  Đôi khi được dùng để ký hiệu hợp rời của tập hợp thay cho .
1.  Ký hiệu phép trừ; ví dụ, 3 – 2.
2.  Ký hiệu nghịch đảo phép cộng và đọc là âm; ví dụ, –2.
3.  Cũng được dùng thay cho \ để ký hiệu phần bù; xem \ trong § Lý thuyết tập hợp.
×
1.  Trong số học sơ cấp, ký hiệu phép nhân; ví dụ, 3 × 2.
2.  Trong hình họcđại số tuyến tính, ký hiệu tính có hướng.
3.  Trong lý thuyết tập hợplý thuyết phạm trù, ký hiệu tích Descartestích trực tiếp. Xem × trong § Lý thuyết tập hợp.
·
1.  Ký hiệu phép nhân; ví dụ, 3 ⋅ 2.
2.  Trong hình họcđại số tuyến tính, ký hiệu tích vô hướng.
3.  Chỗ thế chân biểu thị thành phần bất định. Ví dụ, "giá trị tuyệt đối được ký hiệu bằng | · |" là rõ ràng hơn nói nó được ký hiệu bằng | |.
±
1.  Ký hiệu dấu cộng hoặc dấu trừ.
2.  Ký hiệu khoảng giá trị mà một đại lượng đo đạc có thể có; ví dụ, 10 ± 2 biểu thị một giá trị không xác định nằm giữa 8 và 12.
Dùng cùng với ±, ký hiệu dấu ngược lại; ví dụ, (1 ± 2)×(3 ∓ 4) có thể hiểu là (1 + 2)×(3 – 4) hoặc (1 – 2)×(3 + 4).
÷
Từng được dùng rộng rãi để biểu thị phép chia ở những nước nói tiếng Anh, ngày nay ký hiệu này không còn được sử dụng trong toán học.[1] Ở một số quốc gia, nó có thể biểu thị phép trừ.
:
1.  Ký hiệu tỉ số giữa hai đại lượng.
2.  Ở một số quốc gia, có thể ký hiệu phép chia.
3.  Trong ký hiệu xây dựng tập hợp, nó được dùng làm dấu phân cách với ý nghĩa "sao cho"; xem {□ : □}.
/
1.  Ký hiệu phép chia và đọc là chia cho hoặc trên. Thường được thay thế bằng một dấu gạch ngang. Ví dụ, 3 / 2 hoặc .
2.  Ký hiệu cấu trúc thương. Ví dụ, tập thương, nhóm thương, vành thương, phạm trù thương, v.v.
3.  Trong lý thuyết sốlý thuyết trường, biểu thị một mở rộng trường, trong đó F là một trường mở rộng của trường E.
4.  Trong lý thuyết xác suất, ký hiệu một xác suất có điều kiện. Ví dụ, biểu thị xác suất của A, khi biết B diễn ra. Còn được ký hiệu là : xem "|".
Ký hiệu căn bậc hai và đọc là căn bậc hai của. Ít khi được sử dụng mà không có dấu gạch ngang ở trên (xem mục kế). Ví dụ, √2.
  
1.  Ký hiệu căn bậc hai và đọc là căn bậc hai của. Ví dụ, .
2.  Với một số nguyên lớn hơn 2 viết ở trên bên trái, ký hiệu căn bậc n. Ví dụ, .
^
1.  Lũy thừa thường được ký hiệu bằng superscript. Tuy nhiên, thường được ghi là x^y khi mà superscript không khả thi, ví dụ như trong một số ngôn ngữ lập trình (bao gồm LaTeX) hoặc email văn bản thô.
2.  Đừng nhầm lẫn với .

Đẳng thức, tương đương và tương quan[sửa | sửa mã nguồn]

=
1.  Ký hiệu đẳng thức.
2.  Dùng để đặt tên cho một đối tượng toán học trong câu như "đặt ", trong đó E là một biểu thức. Trong một số tài liệu toán học, việc đặt tên này có thể được viết tắt thành hoặc Việc này có liên hệ với khái niệm gán trong khoa học máy tính, vốn được ký hiệu bằng nhiều cách (tùy thuộc vào ngôn ngữ lập trình) như
Ký hiệu bất đẳng thức và nghĩa là "không bằng".
Nghĩa là "xấp xỉ bằng". Ví dụ, .
~
1.  Giữa hai số, được dùng thay cho để biểu thị "xấp xỉ bằng", hoặc "có cùng cấp độ lớn với".
2.  Ký hiệu tương đương tiệm cận giữa hai hàm hoặc dãy số.
3.  Thường được dùng để biểu thị những loại đồng dạng, ví dụ như ma trận đồng dạng hoặc đồng dạng trong hình học.
4.  Ký hiệu cho một quan hệ tương đương.
5.  Trong xác suấtthống kê, biểu diễn phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên. Ví dụ, nghĩa là biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố chuẩn.[2]
6.  Ký hiệu cho tỉ lệ thuận. Xem ∝ cho ký hiệu rõ ràng hơn.
1.  Ký hiệu một đồng nhất thức, tức một đẳng thức luôn đúng.
2.  Trong lý thuyết số, cụ thể là số học mô đun, ký hiệu đồng dư mô đun một số nguyên.
1.  Có thể ký hiệu một đẳng cấu giữa hai cấu trúc toán học, đọc là "đẳng cấu với".
2.  Trong hình học, ký hiệu hai hình đồng dạng, đọc là "đồng dạng với".

So sánh[sửa | sửa mã nguồn]

<
1.  Bất đẳng thức chặt giữa hai số; đọc và hiểu là "bé hơn".
2.  Thường ký hiệu thứ tự chặt bất kỳ .
3.  Giữa hai nhóm, có thể nghĩa là nhóm thứ nhất là nhóm con thực sự của nhóm thứ hai.
>
1.  Bất đẳng thức chặt giữa hai số; đọc và hiểu là "lớn hơn".
2.  Thường ký hiệu thứ tự chặt bất kỳ.
3.  Giữa hai nhóm, có thể nghĩa là nhóm thứ hai là nhóm con thực sự của nhóm thứ nhất.
1.  Nghĩa là "bé hơn hoặc bằng". Nghĩa là AB tương đương với A < B hoặc A = B.
2.  Giữa hai nhóm, có thể nghĩa là nhóm thứ nhất là nhóm con của nhóm thứ hai.
1.  Nghĩa là "lớn hơn hoặc bằng". Nghĩa là AB tương đương với A > B hoặc A = B.
2.  Giữa hai nhóm, có thể nghĩa là nhóm thứ hai là nhóm con của nhóm thứ nhất.
≪ , ≫
1.  Nghĩa là "bé hơn nhiều" và "lớn hơn nhiều". Từ nhiều thường không được định nghĩa cụ thể, nhưng được hiểu là đại lượng bé hơn có thể được bỏ qua khi xét đến đại lượng lớn hơn. Nhìn chung, ký hiệu này được dùng khi đại lượng bé hơn một vài cấp độ lớn.
2.  Trong lý thuyết độ đo, nghĩa là độ đo liên tục tuyệt đối đối với độ đo .
≦ , ≧
Đồng nghĩa với , ít khi được sử dụng.
≺ , ≻
Thường được dùng để ký hiệu thứ tự, hoặc chung hơn, một tiền thứ tự, khi mà việc dùng <> dễ gây hiểu nhầm.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ ISO 80000-2, Section 9 "Operations", 2-9.6
  2. ^ “Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate”.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng Unicode các toán tử và ký hiệu toán học:
Một số trang tham khảo Unicode: