Bước tới nội dung

Tiền thứ tự

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Sơ đồ Hasse của tiền thứ tự x R y định nghĩa bởi x//4≤y//4 trên các số tự nhiên. Bởi các chu trình, R không phản xứng. Nếu tất cả các số trong chu trình được coi là bằng nhau thì ta sẽ thu được quan hệ thứ tự riêng phần (và tuyến tính)[1]

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết thứ tự, tiền thứ tự hoặc tựa thứ tựquan hệ hai ngôi có tính phản xạbắc cầu. Tiền thứ tự tổng quát hơn quan hệ tương đươngquan hệ thứ tự riêng phần (không nghiêm ngặt), cả hai quan hệ này đều là trường hợp đặc biệt của tiền thứ tự: quan hệ thứ tự riêng phần là tiền thứ tự thêm tính phản xứng, còn quan hệ tương đương là tiền thứ tự thêm tính đối xứng

Tên tiền thứ tự lấy từ ý tưởng rằng tiền thứ tự 'sắp thành' quan hệ thứ tự (riêng phần), nhưng chưa tới được; các quan hệ này không nhất thiết phải không phản đối xứng hay không bất đối xứng. Bởi tiền thứ tự là quan hệ hai ngôi, ký hiệu có thể dùng cho tiền thứ tự bởi chúng không nhất thiết phải phản xứng.

Trong văn bản, khi , ta có thể nói rằng b phủ a hoặc a đứng trước b, hoặc b rút về a. Đôi khi, ký hiệu ← hoặc → hoặc được dùng thay vì

Mọi tiền thứ tự đều có đồ thị có hướng tương ứng với nó. Đồ thị này có các đỉnh tương ứng với các phần tử trong tập và các cạnh có hướng là tiền thứ tự giữa hai phần tử trong tập hợp. Song ngược lại không đúng:Hầu như mọi đồ thị có hướng đều không phản xạ hoặc bắc cầu. Nhìn chung thì, các đồ thị tương ứng với quan hệ có thể chứa các chu trình. Tiền thứ tự mà phản xứng thì sẽ không có chu trình, thay vì đó nó sẽ là quan hệ thứ tự riêng phần và đồ thị tương ứng của nó là đồ thị có hướng không chu trình. Tiền thứ tự có tính đối xứng là quan hệ tương đương, và đồ thị tương ứng của nó là đồ thị vô hướng. Trong tổng quát, đồ thị tương ứng của tiền thứ tự có thể có nhiều hơn một thành phần liên thông.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Xét quan hệ thuần nhất trên một số tập hợp cho trước sao cho theo định nghĩa, là một tập con của và ký hiệu được sử dụng thay cho Khi đó, được gọi là tiền thứ tự hoặc tựa thứ tự nếu nó vừa phản xạ vừa bắc cầu. Nghĩa là, quan hệ đó thoả mãn hai điều kiện sau:

  1. Tính phản xạ: với mọi
  2. Tính bắc cầu: nếu với mọi

Tập đi kèm quan hệ tiền thứ tự được gọi là tập sắp tiền thứ tự (hoặc proset).[2] Để nhấn mạnh sự khác biệt với tiền thứ tự nghiêm ngặt, tiền thứ tự cũng có thể được gọi là tiền thứ tự không nghiêm ngặt.

Nếu tính phản xạ được thay bởi không phản xạ (vẫn giữa tính bắc cầu) thì kết quả thu được được gọi là tiền thứ tự nghiêm ngặt; Nói rõ ra, tiền thứ tự nghiêm ngặt trên là quan hệ hai ngôi thuần nhất trên thoả mãn hai điều kiện sau:

  1. Tính hoàn toàn không phản xạ: không với mọi tức là sai với mọi
  2. Tính bắc cầu: nếu với mọi

Quan hệ hai ngôi P là tiền thứ tự nghiêm ngặt khi và chỉ khi nó là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt. Theo định nghĩa, quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt là tiền thứ tự nghiêm ngặt không đối xứng (quan hệ được gọi là không đối xứng nếu với mọi Ngược lại mọi tiền thứ tự nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặt riêng phần vì mọi quan hệ bắc cầu nhưng không phản xạ thì sẽ không đối xứng.

Mặc dù hai tên gọi tương đương nhau, thuật ngữ "thứ tự riêng phần nghiêm ngặt" được dùng nhiều hơn "tiền thứ tự nghiêm ngặt". Ngược với tiền thứ tự nghiêm ngặt, có rất nhiều tiền thứ tự không nghiêm ngặt.

Các định nghĩa có liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu tiền thứ tự có thêm tính phản đối xứng (tức là thì ) thì được gọi là quan hệ thứ tự riêng phần.

Mặt khác, nếu tiền thứ tự có thêm tính đối xứng (tức là thì ) thì được gọi là quan hệ tương đương.

Tiền thứ tự có tính toàn phần nếu hoặc với mọi

Tập sắp tiền thứ tự có thể được viết thành công thức bằng phạm trù mỏng trong lý thuyết phạm trù; nghĩa là một phạm trù có tối đa một cấu xạ giữa vật này sang vật khác. Ở đây vật tương ứng các phần tử thuộc và có một cấu xạ giữa hai phần tử có quan hệ với nhau và không có nếu ngược lại.

Lớp sắp tiền thứ tựlớp đi kèm với tiền thứ tự. Mọi tập hợp đều là lớp và do đó mọi tập sắp tiền thứ tự là lớp sắp tiền thứ tự.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Lý thuyết đồ thị[sửa | sửa mã nguồn]

  • Quan hệ "Có đường đi từ a đến b" trong bất kỳ đồ thị có hướng (có thể có chu trình) là tiền thứ tự.

Khoa học máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Trong khoa học máy tính, ta thường thấy các ví dụ sau.

Các ví dụ khác[sửa | sửa mã nguồn]

  • Mọi không gian tô pô hữu hạn đều có tiền thứ tự trên các điểm của nó bằng cách định nghĩa khi và chỉ khi x nằm trong mọi lân cận của y.
  • Quan hệ định nghĩa bởi nếu trong đó f là hàm theo tiền thứ tự.
  • Quan hệ định nghĩa bởi nếu tồn tại đơn ánh từ x đến y. Đơn ánh có thể đổi thành toàn ánh hoặc bất cứ hàm nào bảo toàn cấu trúc, ví dụ như đồng cấu vành hoặc phép thế.
  • Các quan hệ nhúng cho các tiền thứ tự toàn phần đếm được.

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Tiền thứ tự đóng vai trò quan trọng trong các tình huống sau:

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi quan hệ hai ngôi trên tập hợp có thể mở rộng thành tiền thứ tự trên bằng cách lấy bao đóng bắc cầubao đóng phản xạ, Bao đóng bắc cầu nghĩa là có quan hệ đường đi khi và chỉ khi có -đường đi từ đến

Tiền thứ tự thặng dư trái cảm sinh bởi quan hệ hai ngôi

Cho quan hệ hai ngôi phần bù của hợp tạo thành một tiền thứ tự được gọi là phần thặng dư trái,[5] trong đó quan hệ ngược của ký hiệu quan hệ của trong khi phép hợp thành quan hệ.

Tiền thứ tự và thứ tự riêng phần trên phân hoạch tập hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tiền thứ tự trên , ta có thể định nghĩa quan hệ tương đương trên trên sao cho Quan hệ thu được có tính phản xạ bởi phản xạ; có tính bắc cầu bằng cách áp dụng tính bắc cầu của hai lần; và có tính đối xứng theo định nghĩa.

Dùng quan hệ này, ta có thể xây quan hệ thứ tự riêng phần trên tập thương của quan hệ tương đương , tập thương là tập của tất cả các lớp tương đương của Nếu tiền thứ tự được ký hiệu là thì là tập hợp của các lớp tương đương -chu trình: khi và chỉ khi hoặc nằm trong -chu trình của . Trong bất kỳ trường hợp, có thể định nghĩa trên quan hệ khi và chỉ khi Định nghĩa này hoàn toàn xác định bởi điều kiện định nghĩa của nó không phụ thuộc vào lựa chọn đại diện của . Ta có thể kiểm chứng tập hợp này là tập sắp thứ tự riêng phần.

Ngược lại, từ bất kỳ quan hệ thứ tự riêng phần trên ta có thể xây dựng tiền thứ tự trên chính , bởi có tương ứng một-một giữa tập tiền thứ tự và các cặp (phân hoạch, thứ tự riêng phần).

Ví dụ: Cho lý thuyết hình thức, tức là tập của các câu có tính chất đặc biệt (nội dung này có thể xem thêm trong bài viết về chủ đề đó). Chẳng hạn như, có thể là lý thuyết bậc nhất (ví dụ lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel) hoặc đơn giản hơn là lý thuyết bậc không. Một trong rất nhiều tính chất của là nó phải đóng dưới các hệ quả logic, ví dụ chẳng hạn, câu theo logic suy ra câu sẽ được viết là hoặc cũng được viết là do đó phải (theo modus ponens).

Quan hệ là tiền thứ tự trên bởi luôn đúng và bất cứ khi nào đều đúng thì cũng HƠn nữa, cho bất kỳ khi và chỉ khi ; tức là, hai câu tương đương với nhau tương ứng với quan hệ khi và chỉ khi chúng tương đương logic với nhau. Quan hệ tương đương cụ thể này thường được ký hiệu bằng ký hiệu riêng của nó và do vậy, ký hiệu có thể dùng thay Lớp tương đương của câu được ký hiệu bởi bao gồm tất cả các câu tương đương logic với (tức là, tất cả các câu sao cho ). Quan hệ thứ tự riêng phần trên cảm sinh bởi sẽ được ký hiệu cùng ký hiệu định nghĩa như sau: khi và chỉ khi trong đó điều kiện vế phải không phụ thuộc lựa chọn đại diện câu của các lớp tương đương. Tất cả những gì đã nói về có thể áp dụng tương tự cho quan hệ ngược Tập sắp tiền thứ tự tập có hướng bởi nếu và nếu ký hiệu câu được lập bởi phép logic hội thì khi Do vậy, theo hệ quả, tập cũng là tập có hướng. Xem đại số Lindenbaum–Tarski để thêm ví dụ.

Tiền thứ tự nghiêm ngặt[sửa | sửa mã nguồn]

Tiền thứ tự nghiêm ngặt cảm sinh bởi tiền thứ tự

Cho tiền thứ tự một quan hệ mới có thể định nghĩa theo khi và chỉ khi Sử dụng quan hệ tương đương giới thiệu ở trên, khi và chỉ khi do đó thoả mãn mệnh đề sau Quan hệ quan hệ thứ tự riêng phần nghiêm ngặtmọi thứ tự riêng phần nghiêm ngặt đều có thể xây dựng theo cách này. Nếu tiền thứ tự phản đối xứng (và do đó là quan hệ thứ tự riêng phần) thì quan hệ tương đương là quan hệ bằng nhau (tức là, khi và chỉ khi ), do vậy trong trường hợp này, định nghĩa của có thể phát biểu lại thành: Quan trọng hơn, điều kiện mới này không được dùng (hay tương đương với) định nghĩa chung của quan hệ (tức là, không được định nghĩa: khi và chỉ khi ) bởi vì nếu tiền thứ tự không phản đối xứng thì quan hệ thu được sẽ không có tính bắc cầu (xét quan hệ của các phần tử không bằng nhau). Đây cũng là lý do dùng "" thay vì dấu "nhỏ hơn hoặc bằng ", bởi dấu sau có thể gây nhầm lẫn do gợi ý rằng tức

Số tiền thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Số các quan hệ từng loại của tập hợp có n phần tử
Số phần tử Bất kì Bắc cầu Phản xạ Đối xứng Tiền thứ tự Thứ tự bộ phận Tiền thứ tự toàn phần Thứ tự toàn phần Quan hệ tương đương
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 2 1 1 1 1 1
2 16 13 4 8 4 3 3 2 2
3 512 171 64 64 29 19 13 6 5
4 65536 3994 4096 1024 355 219 75 24 15
n 2n2 2n2n 2n(n+1)/2 n!
OEIS A002416 A006905 A053763 A006125 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Trong đó S(n, k)số Stirling loại thứ hai.

Có tương ứng một-một giữa các tiền thứ tự và các cặp (phân hoạch của thứ tự riêng phần). Do đó số tiền thứ tự bằng với tổng của số các quan hệ thứ tự riêng phần trên mọi phân hoạch. Ví dụ như sau:

  • Với
    • 1 phân hoạch của 3, có 1 tiền thứ tự
    • 3 phân hoạch của 2 + 1, cho tiền thứ tự
    • 1 phân hoạch của 1 + 1 + 1, cho 19 tiền thứ tự.
    Tính tổng lại ta được 29 tiền thứ tự
  • Với
    • 1 phân hoạch của 4, cho 1 tiền thứ tự
    • 7 phân hoạch của hai lớp (4 của 3 + 1 và 3 của 2 + 2), cho tiền thứ tự
    • 6 phân hoạch của 2 + 1 + 1, cho tiền thứ tự
    • 1 phân hoạch của 1 + 1 + 1 + 1, cho 219 tiền thứ tự
    Tính tổng lại ta được 355 tiền thứ tự

Khoảng[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ trên tập các số tự nhiên chia hết cho 4
  2. ^ Đối với "proset", xem e.g. Eklund, Patrik; Gähler, Werner (1990), “Generalized Cauchy spaces”, Mathematische Nachrichten, 147: 219–233, doi:10.1002/mana.19901470123, MR 1127325.
  3. ^ Pierce, Benjamin C. (2002). Types and Programming Languages. Cambridge, Massachusetts/London, England: The MIT Press. tr. 182ff. ISBN 0-262-16209-1.
  4. ^ Kunen, Kenneth (1980), Set Theory, An Introduction to Independence Proofs, Studies in logic and the foundation of mathematics, 102, Amsterdam, The Netherlands: Elsevier.
  5. ^ Trong ngữ cảnh này, "" không có nghĩa là "hiệu của hai tập hợp".

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Schmidt, Gunther, "Relational Mathematics", Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-76268-7
  • Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4128-9