Đường cong bậc ba Neuberg

Đường cong Neuberg

Đường cong bậc ba Neuberg là đường đường cong bậc ba đặc biệt trong lĩnh vực hình học tam giác, đường cong Neuberg đặt theo tên Joseph Jean Baptiste Neuberg, một nhà toán học người Luxembourg. Đường cong Neuberg là quỹ tích các điểm trong mặt phẳng sao cho đường thẳng nối điểm đối xứng của điểm đó qua ba cạnh của một tam giác với ba đỉnh tương ứng với ba cạnh đó đồng quy. Phương trình đường cong Neuberg:

• Phương trình trilinear: $\sum _{cyclic}(\cos A-\cos B\cos C)x(y^{2}-z^{2})=0$
• Phương trình tọa độ tỉ cự: $\sum _{cyclic}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}x^{2})=0$

Trong một tam giác đường cong Neuberg đi qua ba đỉnh và đi qua các điểm được ký hiệu sau trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác: $X_{1}$ tâm đường tròn nội tiếp, $X_{3}$ tâm đường tròn ngoại tiếp, $X_{4}$ trực tâm, $X_{13}$, $X_{14}$ hai điểm Fermat, $X_{15}$, $X_{16}$ hai điểm Isodynamic, $X_{30}$ điểm vô cực của Đường thẳng Euler, $X_{74}$, $X_{370}$, $X_{399}$ điểm Parry reflection, $X_{484}$, $X_{616}$, $X_{617}$, $X_{1138}$, $X_{1157}$, $X_{1263}$, $X_{1276}$, $X_{1277}$, $X_{1337}$, $X_{1338}$, $X_{2132}$, $X_{2133}$, $X_{3065}$, $X_{3440}$, $X_{3441}$, $X_{3464}$, $X_{3465}$, $X_{3466}$, $X_{3479}$, $X_{3480}$, $X_{3481}$, $X_{3482}$, $X_{3483}$, $X_{3484}$, $X_{5623}$, $X_{5624}$, $X_{5667}$ cho đến $X_{5685}$.

Tính chất

Một tính chất của đường cong Neuberg: $P,Q(P),X_{13},X_{14}$ nằm trên một đường tròn

• Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ trên mặt phẳng, khi đó đường thẳng Euler của các tam giác $PBC$, $PCA$, $PAB$ đồng quy khi và chỉ khi điểm $P$ nằm trên đường cong Neuberg.
• Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ trên mặt phẳng, gọi $O_{a}$, $O_{b}$, $O_{c}$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PBC$, $PCA$, $PAB$. Khi đó ba đường thẳng $AO_{a}$, $BO_{b}$, $CO_{c}$ đồng quy khi và chỉ khi điểm $P$ nằm trên đường cong Neuberg. Tính chất này là một mở rộng của định lý Kosnita
• Cho tam giác $ABC$, $P$ là một điểm trên đường cong Neuberg, gọi $P_{a}$, $P_{b}$, $P_{c}$ lần lượt là ba điểm đối xứng của $P$ qua ba cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác. Khi đó theo tính chất của đường cong Neuberg thì ba đường thẳng $AP_{a}$, $BP_{b}$, $CP_{c}$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy này là $Q(P)$. Khi đó hai điểm Fermat và $P$, $Q(P)$ cùng thuộc một đường tròn. Tính chất này là một mở rộng của định lý Lester
• Đường cong Neuberg có rất nhiều tình chất khác .

Xem thêm

• Điểm Fermat
• Điểm Isodynamic
• Đường cong bậc ba Darboux
• Đường cong bậc ba Thomson
• Đường cong bậc ba Mccay
• Đường cong bậc ba Napoleon-Feuerbach
• Định lý Cayley–Bacharach

Tham khảo

• Čerin, Z. "Locus Properties of the Neuberg Cubic." J. Geom. 73, 39-56, 1998.
• Čerin, Z. "The Neuberg Cubic in Locus Problems." Math. Pannonica 11, 109-124, 2000.
• Cundy, H. M. and Parry, C. F. "Some Cubic Curves Associated with a Triangle." J. Geom. 53, 41-66, 1995.
• Gibert, B. "Neuberg Cubic." http://perso.wanadoo.fr/bernard.gibert/Exemples/k001.html.

Liên kết ngoài

• Neuberg Cubic tại MathWorld