Đường thẳng Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Đường thẳng Euler (đỏ) đi qua trọng tâm (cam), trực tâm (lam), tâm đường tròn ngoại tiếp (lục) và tâm đường tròn chín điểm (đỏ) của tam giác.

Trong môn hình học, đường thẳng Euler, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler, là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Năm 1765, Euler đã chứng tỏ rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các tam giác thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler. Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường thẳng Euler ở giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa khoảng cách từ trọng tâm đến trực tâm.

Các điểm nổi tiếng khác nằm trên đường thẳng Euler được biết đến trong tam giác bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler, và điểm Exeter. Tuy nhiên tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp tam giác cân.

Đường thẳng Euler của có vài bổ đề của riêng nó, và cả đối bổ đề.

Cho A, B, C là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho x: y: z điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:

\sin 2A \sin(B - C)x + \sin 2B \sin(C - A)y + \sin 2C \sin(A - B)z = 0.\,

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số t. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là \cos A: \cos B: \cos C) và trực tâm (với tọa độ là \sec A: \sec B: \sec C = \cos B \cos C: \cos C \cos A: \cos A \cos B), bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

\cos A + t \cos B \cos C: \cos B + t \cos C \cos A: \cos C + t \cos A \cos B\,

úng mới một giá trị t' nhất định.

Ví dụ:

Các định lý về đường thẳng Euler đồng quy[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cho tam giác ABC với hai điểm Fermat F1 and F2. Khi đó đường thẳng Euler tạo bởi 10 tam giác tạo bởi các đỉnh A, B, C, F1 and F2 sẽ |đồng quy tại trọng tâm tam giác ABC.[1]
  • Định lý Thebault IV: Cho tam giác ABC với các đường cao AA', BB', CC'. Các đường thẳng Euler của các tam giác AB'C', A'BC', A'B'C sẽ đồng quy trên đường tròn Euler của tam giác ABC tại một điểm P thoả mãn moả một trong các khoảng cách PA', PB', PC' bằng tổng 2 khoảng cách còn lại.
  • Định lý Schiffler: Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp bốn đường thẳng Euler của bốn tam giác BCI, CAI, ABIABC đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Schiffler của tam giác ABC
  • Điểm đánh số X(4240) trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác là điểm đồng quy của 12 đường thẳng Euler, điểm này đặt tên theo Đào Thanh Oai gọi là điểm Đào 12 đường thẳng Euler đồng quy.[2][3]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Beluhov, Nikolai Ivanov. "Ten concurrent Euler lines", Forum Geometricorum 9, 2009, pp. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
  2. ^ Telv Cohl, 'Dao's Theorem on the Concurrence of Three Euler Lines,' International Journal of Geometry 3 (2014) 70-73
  3. ^ X(4240) = DAO TWELVE EULER LINES POINT

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Kimberling, Clark (1998). “Triangle centers and central triangles”. Congressus Numerantium 129: i–xxv, 1–295. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]