Cực trị của hàm số

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị lớn nhất là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị nhỏ nhất là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ.

Giá trị lớn nhất thường gọi là giá trị cực đại (Maximum). Ký hiệu là max.

Giá trị nhỏ nhất thường gọi là giá trị cực tiểu (Minimum). Ký hiệu là min.

Cực trị hàm một biến[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x0 là f '(x0)=0 thì f(x0) là điểm dừng (stationary value) của hàm f(x)[1].

Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x0 là f(n)(x0)≠0 thì điểm dừng f(x0) là[2]:

  • Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f(n)(x0)<0. Cực đại toàn cục nếu n là số chẵn và f(n)(x)<0
  • Cực tiểu địa phương nếu n là số chẵn và f(n)(x0)>0. Cực tiểu toàn cục nếu n là số chẵn và f(n)(x)>0
  • Điểm uốn nếu n là số lẻ

Cực trị hàm nhiều biến[sửa | sửa mã nguồn]

Điều kiện cần để hàm z= f(x1, x2, ... , xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 + ... + fn dxn = 0[3].

dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 = ... = fn dxn = 0

d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

Từ ma trận H có các ma trận con , , ... , .

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0, ... , (-1)n det(Hn) > 0[3]

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3), ... , det(Hn) > 0[3]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 235
  2. ^ Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266
  3. ^ a ă â Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336