Phép đẳng cấu

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm
Căn đơn vị bậc 5
Quay ngũ giác đều
Nhóm căn đơn vị bậc 5 dưới phép nhân là phép đẳng cấu vào nhóm quay ngũ giác đều dưới phép hợp.

Trong toán học, phép đẳng cấu (từ tiếng Hy Lạp cổ đại: ἴσος isos "bằng", và μορφή morphe "hình") là phép đồng cấu (hoặc tổng quát hơn cấu xạ) mà cho phép có khả nghịch.[note 1] Hai đối tượng toán học là đẳng cấu nếu tồn tại một phép đẳng cấu giữa chúng. Phép tự đẳng cấu là một phép đẳng cấu mà đối tượng nguồn và đối tượng đích là trùng nhau. Tính chất thú vị của phép đẳng cấu nằm ở điều không thể phân biệt được hai đối tượng đẳng cấu nếu chỉ sử dụng những tính chất để xác định phép cấu xạ; do vậy các đối tượng đẳng cấu có thể được coi là giống nhau nếu chỉ xét tới những tính chất này và những hệ quả của chúng.

Với hầu hết các cấu trúc đại số, bao gồm nhómvành, phép đồng cấu là một đẳng cấu khi và chỉ khi nó là song ánh.

Trong tô pô học, nơi cấu xạ là những hàm liên tục, phép đẳng cấu còn được gọi là phép đồng phôi hay hàm song liên tục. Trong giải tích toán học, nơi cấu xạ là những hàm khả vi, phép đẳng cấu được gọi là phép vi đồng phôi.

Phép đẳng cấu chính tắc là một ánh xạ chính tắc thỏa mãn yêu cầu của phép đẳng cấu. Hai đối tượng được gọi là đẳng cấu chính tắc nếu tồn tại một phép đẳng cấu chính tắc giữa chúng. Ví dụ, ánh xạ chính tắc từ một không gian vectơ hữu hạn chiều V vào không gian đối ngẫu thứ hai của nó là một đẳng cấu chính tắc; mặt khác, V là đẳng cấu vào không gian đối ngẫu nhưng nói chung không chính tắc.

Phép đẳng cấu được hình thức hóa bằng lý thuyết phạm trù. Một cấu xạ f: XY trong một phạm trù là một đẳng cấu nếu nhó cho phép tồn tại nghịch đảo hai phía, có nghĩa là có một cấu xạ khác g: YX trong phạm trù đó sao cho gf = 1Xfg = 1Y, với 1X và 1Y là những cấu xạ đồng nhất của tương ứng XY.[1]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Để rõ hơn, nghịch đảo ở đây có nghĩa là phép đồng cấu ngược hoặc cấu xạ ngược, chứ không phải là hàm ngược.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Awodey, Steve (2006). “Isomorphisms”. Category theory. Oxford University Press. tr. 11. ISBN 9780198568612. 

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]