Tập lũy thừa

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tập hợp, tập hợp lũy thừa (hay còn gọi là tập lũy thừa, tập hợp các bộ phận, tập các bộ phận, tập hợp các tập con, tập các tập con) của một tập hợp A là tập hợp chứa tất cả các tập con của A, ký hiệu là P(A), ℘(A) hay 2^A.

Ví dụ, nếu:

A = {x, y, z}

thì tất cả các tập con của A là:

• { } (tập rỗng, cũng được ký hiệu là Ø)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

và:

P(A) = {{},{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z},{x, y, z}}

Nếu A là tập hữu hạn có n phần tử thì tập lũy thừa của A sẽ có 2ⁿ phần tử

Georg Cantor đã chứng minh lực lượng của tập lũy thừa của A luôn lớn hơn lực lượng của bản thân A. Đặc biệt, ông đã chỉ ra rằng tồn tại song ánh từ tập lũy thừa của tập các số tự nhiên sang tập các số thực, do đó lực lượng của tập các số thực là lớn hơn lực lượng của tập các số tự nhiên (và do đó tập các số thực là không đếm được).

Trong khuôn khổ của ZFC, sự tồn tại của tập lũy thừa được bảo đảm bởi tiên đề tập hợp các bộ phận.

Tham khảo

• Nguyễn Đình Trí (chủ biên) và các tác giả khác, Toán cao cấp, Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, tái bản lần thứ bảy, 2006.