Tiên đề Archimede

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Đây là một tính chất trên trường số thực được mang tên nhà toán học, vật lý học, và nhà phát minh người Hy Lạp Archimedes (287 TCN - 212 TCN)

Tiên đề này còn được gọi là tiên đề thứ tự cho số thực

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực và mọi số thực thì tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Việc chứng minh chủ yếu dựa vào Tiên đề cận trên đúng phát biểu như sau: Mọi tập hợp con của tập số thực , trong đó bị chặn trên, đều có cận trên đúngsố thực, tức là

  • Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử không tồn tại số tự nhiên sao cho

, nên .

  • Xét tập hợp
  • Rõ ràng A bị chặn trên bởi và do đó theo tiên đề cận trên đúng, là cận trên đúng của .
  • Do nên không là cận trên đúng của , nên tồn tại một số tự nhiên sao cho (vì nếu không, trở thành cận trên đúng của , trái với giả thiết ban đầu )
  • Tuy nhiên điều này vô lý do

\, trong đó .

  • Vậy điều ta giả thiết là sai, nên phải tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực và mọi số thực thì tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Cách chứng minh gần như tương tự, chỉ cần thay bởi

Ý nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này cho thấy

  • Tính vô hạn của trường số thực.
  • Tính bị chặn của một đoạn (hay khoảng) bất kì.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]