Tiên đề Archimede

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Đây là một tính chất trên trường số thực được mang tên nhà toán học, vật lý học, và nhà phát minh người Hy Lạp Archimedes (287 TCN - 212 TCN)

Tiên đề này còn được gọi là tiên đề thứ tự cho số thực

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực và mọi số thực thì tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Việc chứng minh chủ yếu dựa vào Tiên đề cận trên đúng phát biểu như sau: Mọi tập hợp con của tập số thực , trong đó bị chặn trên, đều có cận trên đúngsố thực, tức là

  • Ta chứng minh bằng phản chứng: giả sử không tồn tại số tự nhiên sao cho

, nên .

  • Xét tập hợp
  • Rõ ràng A bị chặn trên bởi và do đó theo tiên đề cận trên đúng, là cận trên đúng của .
  • Do nên không là cận trên đúng của , nên tồn tại một số tự nhiên sao cho (vì nếu không, trở thành cận trên đúng của , trái với giả thiết ban đầu )
  • Tuy nhiên điều này vô lý do

\, trong đó .

  • Vậy điều ta giả thiết là sai, nên phải tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực và mọi số thực thì tồn tại một số tự nhiên sao cho .

Cách chứng minh gần như tương tự, chỉ cần thay bởi

Ý nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này cho thấy

  • Tính vô hạn của trường số thực.
  • Tính bị chặn của một đoạn (hay khoảng) bất kì.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]