Công thức Legendre

Trong toán học, Công thức Legendre là biểu thức tính số mũ của lũy thừa lớn nhất của số nguyên tố p mà là ước của  n!. Công thức được đặt tên theo nhà toán học Adrien-Marie Legendre. Đôi khi nó cũng được gọi là công thức de Polignac, theo tên của Alphonse de Polignac.

Phát biểu

Cho số nguyên tố p và bất kỳ số tự nhiên n, gọi $\nu _{p}(n)$ là số mũ của lũy thừa lớn nhất p mà là ước của n (tức là định giá p-adic của n). Khi đó

$\nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ,$

trong đó $\lfloor x\rfloor$ là hàm lấy phần nguyên. Mặc dù tổng ở vế phải có vô hạn số phần tử, cho bất kỳ giá trị của n và p, nó vẫn chỉ có hữu hạn số phần tử khác không, lý do như sau: lấy các giá trị i đủ lớn sao cho $p^{i}>n$, ta có $\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =0$. Nhờ đó, rút gọn công thức trên thành

$\nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{L}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \,,$

trong đó $L=\lfloor \log _{p}n\rfloor$.

Ví dụ

Xét n = 6, ta có $6!=720=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}$. Các số mũ $\nu _{2}(6!)=4,\nu _{3}(6!)=2$ và $\nu _{5}(6!)=1$ có thể tính bằng công thức Legendre như sau:

${\begin{aligned}\nu _{2}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{2^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {6}{4}}\right\rfloor =3+1=4,\\[3pt]\nu _{3}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{3^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{3}}\right\rfloor =2,\\[3pt]\nu _{5}(6!)&=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {6}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {6}{5}}\right\rfloor =1.\end{aligned}}$

Chứng minh

Bởi $n!$ là tích của các số nguyên dương từ 1 đến n, ta thu được ít nhất một p trong $n!$ cho mỗi bội của p trpng $\{1,2,\dots ,n\}$, tổng cộng có $\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor$. Mỗi bội của $p^{2}$ cho thêm một nhân tử p, và tương tự như vậy, mỗi bội của $p^{3}$ cho thêm một nhân tử p, tiếp diễn như vậy cho các lũy thừa sau. Cộng tất cả số này sẽ thu về được công thức tổng vô hạn cho $\nu _{p}(n!)$.

Dạng khác

Ta cũng có thể viết lại công thức Legendre thành khai triển cơ số p của n. Gọi $s_{p}(n)$ là tổng các chữ số trong khai triển cơ số p của n thì

$\nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.$

Ví dụ chẳng hạn, n = 6 trong hệ nhị phân được viết là 6₁₀ = 110₂, ta có $s_{2}(6)=1+1+0=2$ nên

$\nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4.$

Tương tự, n = 6 trong hệ tam phân được viết là 6₁₀ = 20₃, ta có $s_{3}(6)=2+0=2$ nên

$\nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2.$

Chứng minh

Viết $n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}$ trong hệ cơ số p. Vì $\textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}$, và do vậy

${\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}$

Ứng dụng

Công thức Legendre được dùng để chứng minh định lý Kummer. Dưới trường hợp đặc biệt, nó có thể dùng để chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì ${\binom {2n}{n}}$ chia hết cho 4 khi và chỉ khi n không phải lũy thừa của 2.

Suy ra được từ công thức Legendre rằng hàm mũ p-adic có bán kính hội tụ bằng với $p^{-1/(p-1)}$.

Tham khảo

• Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres, Paris: Firmin Didot Frères
• Moll, Victor H. (2012), Numbers and Functions, American Mathematical Society, ISBN 978-0821887950, MR 2963308, page 77
• Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Factorial" từ MathWorld.