Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan G, đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots$

trong đó β là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng (dãy số A006752 trong bảng OEIS)

G = 0915965594177219015054603514932384110774…

Vấn đề mở trong toán học: Hằng số Catalan có vô tỷ không? Nếu có, nó có siêu việt không? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Hiện vẫn chưa biết liệu G là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó.

Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}-\cdots$

có thể được tính bằng chính xác π³/32.

Đẳng thức tích phân

Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

${\begin{aligned}G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{4}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \tan t\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sec t+\tan t)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\arctan e^{-t}\,dt\\[3pt]G&={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {(t^{4}-6t^{2}+1)\ln \ln t}{(1+t^{2})^{3}}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {(1+6t^{2}+t^{4})\arctan {t}}{t(1-t^{2})^{2}}}\,dt+2\operatorname {arctanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin(2xy/\pi )}{\,(x^{2}+\pi ^{2})\cosh x\sinh y\,}}\,dxdy\end{aligned}}$

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten.

Nếu K(k) là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với k là môđun elliptic, thì

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk.$

Với hàm gamma Γ(x + 1) = x!

${\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy.\end{aligned}}$

Tích phân

$G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.

Ứng dụng

Hằng số G xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma):

${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}$

Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma, π² và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị.

Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng.

Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic.

Liên hệ với những hàm số khác

Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, hàm G Barnes, cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này.

Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm G Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen):

$G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right)$.

Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch Φ(z,s,α) (liên quan đến hàm zeta Lerch) là

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},$

thì

$G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).$

Chuỗi hội tụ nhanh

Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này:

${\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$

và

$G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai. Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba.

Chữ số đã biết

Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan G ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán.

Số chữ số thập phân đã biết của hằng số Catalan G

Ngày	Số chữ số thập phân	Tính bởi
1832	16	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalan
1877	20	James W. L. Glaisher
1913	32	James W. L. Glaisher
1990	20000	Greg J. Fee
1996	50000	Greg J. Fee
Tháng 8, 1996	100000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
Tháng 9, 1996	300000	Thomas Papanikolaou
1996	1500000	Thomas Papanikolaou
1997	3379957	Patrick Demichel
Tháng 1, 1998	12500000	Xavier Gourdon
2001	100000500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201000000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
Tháng 10 2006	5000000000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Tháng 8, 2008	10000000000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Tháng 1, 2009	15510000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
Tháng 4, 2009	31026000000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
Tháng 6, 2015	200000001100	Robert J. Setti
Tháng 4, 2016	250000000000	Ron Watkins
Tháng 2, 2019	300000000000	Tizian Hanselmann
Tháng 3, 2019	500000000000	Mike A & Ian Cutress
Tháng 7, 2019	600000000100	Seungmin Kim

Xem thê

• Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann
• Hằng số toán học

Liên kết ngoài

• Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant Lưu trữ 2009-06-24 tại Wayback Machine (undated)
• Adamchik, Victor (2002). “A certain series associated with Catalan's constant”. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. doi:10.4171/ZAA/1110. MR 1929434. Bản gốc lưu trữ ngày 16 tháng 3 năm 2010. Truy cập ngày 25 tháng 8 năm 2020.
• Plouffe, Simon (1993). “A few identities (III) with Catalan”. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 4 năm 2009. Truy cập ngày 25 tháng 8 năm 2020. (Provides over one hundred different identities).
• Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 Lưu trữ 2009-04-21 tại Wayback Machine, (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations)
• Weisstein, Eric W., "Catalan's Constant" từ MathWorld.
• Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site
• Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.).
• Fee, Greg (1990), “Computation of Catalan's constant using Ramanujan's Formula”, Proceedings of the international symposium on Symbolic and algebraic computation - ISSAC '90, Proceedings of the ISSAC '90, tr. 157–160, doi:10.1145/96877.96917, ISBN 0201548925
• Bradley, David M. (1999). “A class of series acceleration formulae for Catalan's constant”. The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. MR 1703281.
• Bradley, David M. (2007). “A class of series acceleration formulae for Catalan's constant”. The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. doi:10.1023/A:1006945407723.
• Bradley, David M. (2001), Representations of Catalan's constant, CiteSeerX 10.1.1.26.1879

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Catalan constant”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Catalan's Constant — from Wolfram MathWorld
• Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
• catalan's constant — www.cs.cmu.edu