I-đê-an nguyên tố

Giản đồ Hasse mô tả các i-đê-an nguyên tố của vành $\mathbb {Z} .$ Các đỉnh màu tím là các i-đê-an nguyên tố.

Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán

Một i-đê-an $I$ của một vành giao hoán $R$ được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:

• Nếu $a$ và $b$ là hai phần tử của $R$ sao cho tích $ab$ là phần tử của $I$, thì $a$ là phẩn tử của $I$ hoặc $b$ là phần tử của $I$.
• $I$ không phải là toàn bộ vành $R$

Ví dụ

• Với $R=\mathbb {Z} ,$ tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là $2\mathbb {Z}$.
• Trong một vành $R$, một i-đê-an tối đại là một i-đê-an $M$ tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của $R$, tức là $M$ được chứa trong chính xác hai i-đê-an của $R$: $M$ và $R$. Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.
• Nếu $X$ là một đa tạp trơn, $R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ là vành các hàm thực trơn trên $X$ và $x$ là một điểm của $X$ thì tập hợp tất cả các hàm trơn $f$ với $f(x)=0$ tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của $R$.

Tính chất

• Một i-đê-an $I$ của một vành $R$ (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi $(0)$ là một i-đê-an nguyên tố.
• Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành $\mathbb {C} [x,y]$ có các i-đê-an nguyên tố $P=(x^{2}+y^{2}-1)$ và $Q=(x)$. Tổng của chúng là $P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)$ không phải là nguyên tốt: $y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q$ nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong $P+Q$.

I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán

Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:: một i-đê-an (hai phía) $I$ của một vành $R$ (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu $I\neq R$ và với mọi i-đê-an (hai phía) ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subset R$, ta có: ${\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\subset I\implies {\mathfrak {A}}\subset I{\text{ hoặc }}{\mathfrak {B}}\subset I$.

Thư mục

• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
• Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
• Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
• Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Prime ideal”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4