Thành viên:Ivanhuynh

BỔ ĐỀ URYSHON

===Định lý===: Nếu A, B là các tập đóng trong không gian định chuẩn X, thì sẽ tồn tại hàm liên tục
f: X -> [0.1] thỏa với moị a thuộc A f(a)= 0 và với mọi b thuộc B, f(b)= 1.
Một số ứng dụng của Bổ đề:

1. Định lý mêtric hóa : Nếu X là không gian định chuẩn với cơ sở đếm được, thì chúng ta
   có thể dùng tính thừa của hàm số liên tục từ X vào [0,1] để gán tọa độ số với các điểm
   của X và tìm được một phép nhúng của X vào R^w
2. Định lý mở rộng Tietze: Giả sử A là một tập con của không gian X và f là hàm số lên tục.
   Nếu X là không gian đinh chuẩn và A đóng trong X thì chúng ta có thể tìm được 1 hàm số
   liên tục mà là mở rộng của hàm f.
3. phép nhúng đa tạp trong R^N . Không gian X được gọi là topo đa tạp n chiều nếu mỗi điểm
   x thuộc X có một lận cận mở U(x) thỏa U đồng phôi với quả cầu mở n chiều.

Chứng minh bổ đề Urysohn:
Đặt D là tập số hữu tỷ trong [0, 1], nghĩa là D={0,1,1/2,1/4,3/4,...} Chúng ta sẽ xây dựng một chuỗi
của các tập mở Uq trong X, được đánh chỉ số q ∈ D. Đầu tiên, đặt U1 = X. Bây giờ ta chứng minh:
Vì X là không gian định chuẩn nên tồn tại 2 lân cận mở rời rạc U(A) và V (B). Sự tồn tai của V rời
rạc từ U thì: ¯U ∩ B = ∅, nghĩa là. ¯ U ⊆ (X − B). Đặt U0 có lân cận U(A). Với các tập dãy
con Uq mà chúng ta đã định nghĩa. Ta sẽ có A ⊆ Uq; và với tất cả q < 1, Uq ∩ B = ∅.
Tập đóng ¯U0 được chứa trong tập mở X − B. Vì X là chuẩn tắc, nên tồn tại một tập mở (gọi nó là U1/2) thỏa
¯ U0 ⊆ U1/2 ⊆ ¯ U1/2 ⊆ (X − B) .
ta xen U1/4 vào giữa U0 và U1/2; xen U3/4 vào giữa U1/2 và X − V ; thì ta định nghĩa U1/8, U3/8,... Chúng ta lấy một dãy các tập mở Uq thỏa
(1) với mỗi q ∈ D, A ⊆ Uq.
(2) B ⊆ U1 và với mỗi q < 1, B ∩ Uq = ∅.
(3) với mỗi p, q ∈ D với p < q, ta có ¯ Up ⊆ Uq. Chúng ta sẽ định nghĩa f : X → [0, 1] như sau f(x) = inf{q | x ∈ Uq}
Với mỗi x ∈ X.
Hàm f được định nghĩa vì với mỗi điểm của X
được chứa trong một vài Uq, ít nhất trong U1 = X. Theo điều kiện (1), f bằng 0 trên tập A. Và theo điều kiện (2), f đồng nhất 1 trên tập B.(chúng ta không tuyên bố rằng f bằng 0 chỉ trên A, hay là 1 trên B. Nói chung, tập không và "tập 1" của sẽ lớn hơn chỉ trên A và B.) Ta có f liên tục ta xét: A. Nếu f(x) > q thì x / ∈ ¯ Uq.
B. Nếu f(x) < q thì x ∈ Uq.
Với mỗi x ∈ X đặt D(x) = {q | x ∈ Uq}. Vì f(x) = inf D(x). Số q và tập Uq được sắp. Vì nếu q ∈ D(x) và q′> q, thì q′∈ D(x).
Cận dưới đúng f(x) là phần tử nhỏ nhất của D(x).
Chứng minh A. Nếu f(x) > q thì ta có một vài gap giữa q và D(x),tồn tại q′ thõa q < q′< f(x). Nhưng q′< f(x) =⇒ x / ∈ Uq′,và thì ¯ Uq ⊆ Uq′ =⇒ x / ∈ ¯ Uq.
Chứng minh B. If f(x) < q thì tồn tại q′∈ D(x) thõa f(x) < q′< q, trong trường hợp này q ∈ D(x), vì vậy x ∈ Uq.
Bây giờ ta chứng minh f liên tục. Chúng ta cần chứng minh ảnh của mỗi tập cơ sở con (a,1] hay [0,a) là mở trong X. Giả sử rằng f(x) thuộc (a,1]. Lấy một vài q với a < q < f(x). Chúng ta chứng minh rằng tập mở W = X − ¯ Uq là lân cận của x mà ảnh f vào (a, 1].
Đầu tiên, theo (A), f(x) > q =⇒ x ∈ W, vì vậy W là 1 lân cận x. Nếu y là một điểm bất kỳ của W thì f(y)≥ q > a; Nói cách khác, nếu f(y) < q, thì, theo (B), y ∈ Uq ⊆ ¯ Uq.

Bây giờ ta xét f−1 [0, b). Giả sử f(x) < b và lấy q thõa f(x) < q < b. Theo (B), x ∈ Uq.
Ta chứng minh được rằng lân cận Uq được tạo bởi ánh xạ f vào [0, b). Giả sử y là một điểm bất kỳ của Uq.
Thì q ∈ D(y), vì vậy f(y) ≤ q < b.