Thành viên:Vinhtranxuan/Bổ đề Ơ clit (Euclid's lemma)

Trong lý thuyết số, bổ đề Ơclit là một bổ đề phản ánh thuộc tính cơ bản của các số nguyên tố, có nội dung:

{{math theorem
   | name=Bổ đề Ơ clit
   | statement=Nếu số nguyên tố {{math|''p''}} là ước số của tích {{math|''ab''}} của 2 số nguyên {{math|''a''}} và {{math|''b''}}, thì số nguyên tố {{math|''p''}} phải là ước số của một trong hai số  {{math|''a''}} hoặc {{math|''b''}}
}}

Ví dụ, nếu p = 19, a = 133, b = 143, thì ab = 133 × 143 = 19019, và vì đây là số chia hết cho 19, bổ đề nói rằng một trong hai hoặc cả hai 133 hoặc 143 phải là chia hết cho 19

Bổ đề này không đúng nếu p là một hợp số. Ví dụ, trong trường hợp của p = 10, a = 4, b = 15, hợp số 10  được chia hết bởi ab = 4 × 15 = 60, nhưng 10 không chia hết cho 4 cũng không chia hết cho 15.

Đây là đặc tính quan trọng trong việc chứng minh của các nguyên lý cơ bản của số học. Nó được sử dụng để định nghĩa các phần tử nguyên tố, một sự tổng quát hóa các số nguyên tố thành các vành bất kỳ.  Bổ đề cho thấy rằng trong các số nguyên, các yếu tố không rút gọn được cũng là các yếu tố nguyên tố. Việc chứng minh sử dụng nội suy nên nó không áp dụng cho tất cả các vấn đề trong lĩnh vực số nguyên.

Công thức

Giả thiết p là một số nguyên tố, và giả sử p có thể chia hết bởi tích của hai số a và b. (Ký hiệu p|ab. ngược lại, p không chia hết ab thì được viết p∤ab.) thì đó p|a hoặc p|b (hoặc cả hai). Mệnh đề tương đương là:

• Nếu p∤a và p∤b, thì p∤ab.
• Nếu p∤a và p|ab, thì p|b.

Bổ đề có thể được tổng quát từ số nguyên tố sang số nguyên bất kỳ:

Đây là một sự tổng quát bởi vì nếu n là số nguyên tố, thì hoặc là

• n|a hoặc là
• n là nguyên tố cùng nhau với a. Trong này khả năng thứ hai, n∤a vì vậy, n|b..

Lịch sử

Bổ đề đầu tiên xuất hiện tại mệnh đề 30 trong cuốn số 4 của bộ Các yếu tố Ơ-clit. Thực té, bổ đề được đưa vào trong rất nhiều sách về lý thuyết số cơ bản. 

Các khái quát của bổ đề cho số nguyên xuất hiện trong sách giáo khoa của Jean Prestet Các yếu tố cơ bản của toán học năm 1681.

Trong bài luận Carl Friedrich Ông's  Disquisitiones Arithmeticae, văn bản của bổ đề Ơ clit là Đề xuất 14 (Phần 2), mà ông đã sử dụng để chứng minh sự duy nhất của sự phân tích tích của các nhân tố nguyên tố (Tiên đề 16), thừa nhận sự tồn tại như "rõ ràng." Từ sự tồn tại và duy nhất, ông khái quát hóa số nguyên tố cho các số nguyên. Vì lý do này, các khái quát của bổ đề Ơclit là đôi khi được gọi là Bổ đề Gauss, nhưng một số người tin rằng sử dụng từ này là không đúng do sự nhầm lẫn với Bổ đề Gauss về các số dư bậc 4.

Chứng minh

Chứng minh sử dụng bổ đề Bézout

Cách chứng minh thông thường có sử dụng một bổ đề khác: bổ đề Bezout. Bổ đề này nói rằng nếu x và y là 2 số nguyên tố cùng nhau (tức là không có ước số chung nào khác ngoài 1), thì có tồn tại các số nguyên r và s thỏa mãn:

${\displaystyle }$

Giả sử a và n là các số nguyên tố cùng nhau, giả định rằng n|ab. Theo bổ đề Bézout sẽ tồn tại các số r và s  sao cho:

${\displaystyle }$

Nhân hai bên với b:

${\displaystyle }$

Số hạng thứ nhất bên trái chia hết cho n, và số hạng thứ hai chia hết cho ab, mà theo giả thuyết là chia hết cho n. Vì thế tổng của chúng, b, cũng chia hết cho n. Đây chính là dạng tổng quát hóa của bổ đề Ơ clit nêu trên.

Chứng minh các phần tư

Bổ đề Ơ clit được chứng minh tại mệnh đề 30 trong cuốn VII của bộ Phần tử. Nguyên bản gốc của chứng minh khó hiểu, vì vậy chúng tôi trích dẫn các bình luận từ cuốn Euclid & Heath (1956, tr. 319-332).

Mệnh đề 19

Nếu bốn số là tỷ lệ thuận, tích của số đầu tiên và thứ tư là bằng với tích số thứ hai và thứ ba, và, nếu tích của số thứ nhất và thứ tư  bằng với tích số thứ hai và thứ ba, bốn con số là tỷ lệ thuận.

Mệnh đề 20

Các sô nhỏ nhất trong những số mà có cùng một tỷ lệ với các số đó sẽ có mặt trong phân tích của các số có cùng tỷ số với cùng số mũ — số lớn hơn sẽ có số mũ lớn hơn và số nhỏ hơn sẽ có số mũ nhỏ hơn.

Mênh đề 21

Các số nguyên tố cùng nhau với một số khác là các số nhỏ nhất trong số những số có cùng tỷ số với chúng.

Mệnh đề 29

Một số nguyên tố sẽ nguyên tố cùng nhau với một số khác không chứa số nguyên tố đó trong phân tích của mình

Mệnh đề 30

Nếu hai con số, bằng cách nhân với một số khác, cho ra cùng kết quả, và bất kỳ số nguyên tố có mặt trong phân tích của kết quả, thì số nguyên tố đó cũng có mặt trong một trong phân tích của một trong các số ban đầu. 

Chứng minh

Nếu c  là một số nguyên tố có mặt trong phân tích của ab,thì c sẽ có mặt trong phân tích của a hoặc b.
Giả sử c không có trong phân tích của a.
Như vậy c, a sẽ nguyên tố cùng nhau. ［VII. 29］
Giả sử ab＝mc.
Thì, c : a＝b :  m. ［VII. 19］
Do đó ［VII. 20, 21］ b＝nc, trong đó n là một số nguyên.
Vậy c có trong phân tích của b.
Tương tự, nếu c không có trong phân tích của b, thì c có trong phân tích của a.
Vì vậy c có trong phân tích của 1 trong 2 a, b.
Q. E. D.

Tham chiếu

• An Invitation to Abstract Mathematics, 2013.
• The Thirteen Books of the Elements, 1956- vol. 2
• Les Éléments, traduction, commentaires et notes, 1994
• Disquisitiones Arithmeticae
• Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory)
• An Introduction to the Theory of Numbers
• A Classical Introduction to Modern Number Theory
• Applied Abstract Algebra, 2004.
• Elementary Number Theory
• The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, 2012.
• Prime Numbers and Computer Methods for Factorization.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Euclid's Lemma" từ MathWorld.

[[Thể loại:Bổ đề]]