Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của như là thời gian, khi đó mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ thành kí hiệu . Tại thời điểm ta có ánh xạ , tại thời điểm ta có ánh xạ . Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ để như di chuyển thanh trượt đến , và ngược lại.
Một ký hiệu thay thế khác cho kí hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục là một họ của các hàm số liên tục cho sao cho và và mỗi bản đồ liên tục từ đến . Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập
Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file : Ly cà phê).
Tính chất
Hàm số liên tục và được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân từ đến như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu là đồng luân, và là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng và cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.
Đồng luân đường
Nhắc lại về đường đi trong không gian là ánh xạ liên tục từ khoảng trong tô pô Euclid vào . Điểm được gọi là điểm đầu và điểm được gọi là điểm kết thúc.[1]
Đặt và là hai đường từ sang trong . Một phép đồng luân từ và là họ các ánh xạ: , như vậy ánh xạ là liên tục, , và với mọi điểm đường đi từ .[1]
Nếu có một phép đồng luân từ chúng ta nó rằng đồng luân với, thường kí hiệu là ~ .[1]
Một vòng hay một đường đi đóng tại là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là . Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục sao cho . Vòng bất biến là vòng mà = với mọi .[1]
Cho hai không gian và chúng ta nói rằng chúng tương đương đồng luân , hoặc của cùng một dạng đồng luân, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục và như vậy mà là đồng luân với tính chất ánh xạ ánh xạ đồng nhất và là đồng luân ánh xạ đồng nhất. Các ánh xạ và được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là đồng luân tương đương, nhưng điều ngược lại là không đúng sự thật.
Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
Hai không gian và tương đương đồng luân nếu họ có thể được chuyển đổi thành một khác bằng cách uốn cong, thu hẹp và mở rộng hoạt động. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và là tương đương đồng luân với đơn vị vòng tròn . Không gian đó là tương đương đồng luân đến một điểm được gọi là co rút .