Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {a}}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ ${\vec {n}}\neq {\vec {0}}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với $k\neq 0$, vectơ $k{\vec {n}}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương ${\vec {a}}=(a,b)$ thì có vectơ pháp tuyến là ${\vec {n}}=(-b,a)$ hay ${\vec {n}}=(b,-a)$. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có vectơ chỉ phương là ${\vec {a}}=(-b,a)$ hay ${\vec {a}}=(b,-a)$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ ${\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ và vectơ ${\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa ${\vec {n_{1}}}$ với ${\vec {n_{2}}}$ hoặc giữa ${\vec {n_{2}}}$ với ${\vec {n_{1}}}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm $M(x_{0},y_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\end{cases}}$ với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu $u_{1}\neq 0$ và $u_{2}\neq 0$, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}$

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc

Dạng tổng quát

Phương trình ax+by+c=0 với $a^{2}+b^{2}\neq 0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó ${\vec {n}}=(a,b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm $A(0;-{c \over a})$

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm $B(-{c \over b};0)$

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(x_{0};0)$ và $B(0;y_{0})$ thì có thể được viết dưới dạng phương trình ${x \over x_{0}}+{y \over y_{0}}=1$

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc $\alpha$. Đặt $k=\tan \alpha$, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2})$ thì có hệ số góc $k={u_{2} \over u_{1}}$

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến ${\vec {n}}=(a,b)$ thì có hệ số góc $k=-{a \over b}$

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ và nhận ${\vec {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là ${\begin{cases}x=x_{0}+u_{1}t\\y=y_{0}+u_{2}t\\z=z_{0}+u_{3}t\end{cases}}$ với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc ${x-x_{0} \over u_{1}}={y-y_{0} \over u_{2}}={z-z_{0} \over u_{3}}$