Định lý Green

Trong toán học, định lý Green' đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C vàa tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặt biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý

C là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng $\mathbb {R}$², và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu L và M là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì

$\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.$

Mối liên hệ với định lý Stokes

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi $\mathbf {F} =(L,M,0)$. Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$

Theo định lý Stokes thì:

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$

Mặt $S$ chỉ là một miền $D$ trong mặt phẳng, với vector định chuẩn $\mathbf {\hat {n}}$ hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả 2 định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

$\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).$

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$

Mối liên quan với định lý Gauss

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đuơng với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

$\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,$

với $\mathbf {\hat {n}}$ là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn $\mathbf {\hat {n}}$ ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green $d\mathbf {r} =(dx,dy)$ là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là $(dy,-dx)$. Chiều dài của vec tơ này là ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds$. Do vậy $\mathbf {\hat {n}} \,ds=(dy,-dx).$

Bây giờ hãy để $\mathbf {F} =(P,Q)$. Khi đó vế phải sẽ trở thành

$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\oint _{C}Pdy-Qdx$

mà do định lý Green sẽ trở thành

$\oint _{C}-Qdx+Pdy=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\,dA=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA.$

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Area Calculation

Green's theorem can be used to compute area by line integral. The area of D is given by:

$A=\iint _{D}\mathrm {d} A.$

Provided we choose L and M such that:

${\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1.$

Then the area is given by:

$A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y).$

Possible formulas for the area of D include:

$A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y).$

See also

• Planimeter
• Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

Further reading

• Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
• Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

External links

• Green's Theorem on MathWorld