Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f.
Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.
Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.
Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con
![{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0252606caa691849fb8e56d74486a185e75bc061)
Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.
Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi[1]
![{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/721a130e5a1ea872e75c1058ca861a40b2dda5db)
Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.
Với mọi
các tập con
,
, ta có:
Hình ảnh
|
Tiền đề
|
|
|
|
|
![{\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d5c87698478fc71f2cc87c6031b15423d8c3c3) (ta có dấu bằng nếu , ví dụ như nếu là một toàn ánh) [2][3]
|
![{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30f77fb712462c68175539d2cf23dda40f58a70f) (ta có dấu bằng bằng nếu là một đơn ánh)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[4]
|
|
|
|
![{\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72326fd0af3038a3d8ccd9e912ac1a13741a145f)
Cho hai hàm
và
và các tập con
,
, ta có:
![{\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc16303eed91c7a56bef614b005caa72076c3377)
![{\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd83f691e4d756d3a8e54a55dffece306683a84)
Cho hàm
và các tập con
,
, ta có:
Hình ảnh
|
Tiền đề
|
|
|
[4][5]
|
|
(ta có dấu bằng nếu là đơn ánh [6])
|
|
(ta có dấu bằng nếu là đơn ánh)
|
|
![{\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e76aba9f891c939558e333f9a34cf78cf1a6b3c) (ta có dấu bằng nếu là đơn ánh)
|
|
Ngoài ra
![{\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef26fe6f24cf1036ecca02444446e0949dcefb64)
![{\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e1ce1db23e32e16ca82245ce8e895c992d3e04)
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9526a1822c8cc73b848067e3414505a0cb4943c)
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303c836bb7e11be57df51a103b0d192f1c273e49)
- ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 16
- ^ See p.39 of Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory.
- ^ See p.19 of Munkres, James R. (2000). Topology.
- ^ a b See p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
- ^ Kelley (1985), p. 85
- ^ See p.21 of Munkres, James R. (2000). Topology.