Con lắc

Mô hình "Con lắc đơn" với giả sử không có ma sát và sức cản không khí.

Minh họa chuyển động của con lắc với các vectơ vận tốc và gia tốc của vật gắn vào nó.

Con lắc theo định nghĩa chung nhất là một vật gắn vào một trục cố định mà nó có thể xoay (hay dao động) một cách tự do. Khi đưa con lắc dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng theo chiều ngang, nó sẽ chịu một lực phục hồi do tác dụng của hấp dẫn đưa nó trở lại vị trí cân bằng. Khi được thả ra, lực phục hồi kết hợp với trọng lượng của con lắc khiến cho nó dao động xung quanh vị trí cân bằng. Thời gian để con lắc hoàn thiện một lần dao động tới lui gọi là chu kỳ dao động. Chu kỳ dao động phụ thuộc vào độ dài của con lắc cũng như một phần vào biên độ. Tuy nhiên, nếu như biên độ là nhỏ và con lắc không chịu lực cản hay ma sát nào thì chu kỳ dao động độc lập với biên độ con lắc dao động.

Từ khi được khám phá và nghiên cứu bởi Galileo Galilei vào năm 1602, chuyển động đều của con lắc đã được ứng dụng để đo thời gian và là thiết bị đo thời gian chính xác nhất cho đến thập niên 1930. Đồng hồ quả lắc được Christian Huygens phát minh vào năm 1658 đã trở thành thời gian kế tiêu chuẩn của thế giới, được sử dụng tại gia và văn phòng trong 270 năm và có sai số khoảng một giây mỗi năm trước khi nó được thay thế bởi các đồng hồ thạch anh vào những năm 1930. Con lắc cũng được áp dụng vào các dụng cụ đo đạc khoa học như gia tốc kế và địa chấn kế. Trong lịch sử, chúng còn được sử dụng trong các hấp dẫn kế để đo gia tốc hấp dẫn trong khảo sát địa lý hay thậm chí để làm đơn vị chuẩn của độ dài.

Con lắc

Minh họa con lắc với các lực tác dụng lên quả nặng: lực căng dây T của dây và trọng lực mg.

Minh họa con lắc với các véc-tơ vận tốc và gia tốc.

Chu kỳ của dao động

Chu kỳ của con lắc tăng lên theo θ₀ tăng.

Chu kỳ dao động của một con lắc trọng lực đơn giản phụ thuộc vào chiều dài của nó, gia tốc trọng trường địa phương và ở một mức độ nhỏ dựa trên góc cực đại mà con lắc dao động so với phương thẳng đứng, θ0, được gọi là biên độ. Chu kỳ này độc lập với khối lượng của quả nặng. Nếu biên độ được giới hạn bởi dao động nhỏ, chu kỳ T của một con lắc đơn, thời gian để hoàn thành một chu kỳ hoàn chỉnh, sẽ là:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1~\mathrm {radian} \qquad (1)\,$

Trong đó $L$ là chiều dài của con lắc và $g$ là gia tốc trọng trường địa phương.

Đối với dao động nhỏ, chu kỳ dao động xấp xỉ như nhau đối với các góc khác nhau: khoảng thời gian này không phụ thuộc vào biên độ. Tính chất này, được gọi là tính đẳng thời, là lý do mà các con lắc rất hữu ích cho việc đo thời gian.. Sự dao động liên tiếp của con lắc, ngay cả khi thay đổi biên độ, vẫn mất cùng một khoảng thời gian.

Đối với các biên độ lớn hơn, chu kỳ tăng dần theo biên độ nên nó sẽ dài hơn so với phương trình (1). Ví dụ, ở biên độ θ0 = 23°, chu kỳ dao động lớn hơn 1% so với phương trình (1) dự đoán. Khoảng thời gian tăng đến vô cùng khi θ0 tiến tới 180°, vì tại giá trị θ0 = 180°, hệ đang trong trạng thái cân bằng không ổn định. Chu kỳ thực sự của một con lắc trọng lực đơn giản lý tưởng có thể được viết dưới nhiều hình thức khác nhau (xem Con lắc (toán học)), một ví dụ là chuỗi vô hạn:

$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$

$\theta _{0}$ đơn vị radian.

Sự khác biệt giữa khoảng thời gian thực này và khoảng thời gian cho các dao động nhỏ (1) ở trên được gọi là sai số vòng (circular error). Trong trường hợp của đồng hồ ông nội điển hình có con lắc có góc quệt là 6° và do đó biên độ là 3° (0,05 radian), chênh lệch giữa chu kỳ thực và xấp xỉ góc nhỏ (1) lên tới khoảng 15 giây mỗi ngày.

Đối với dao động nhỏ, con lắc xấp xỉ một dao động điều hòa và chuyển động của nó là một hàm của thời gian, t, là khoảng chuyển động điều hòa đơn giản:

$\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)\,$

Đối với con lắc thực, thời gian thay đổi một chút theo các yếu tố như sự nổi và độ nhớt của không khí, khối lượng của dây hoặc thanh, kích thước và hình dạng của bob và cách nó được treo trên dây, và tính linh hoạt và độ căng của dây. Trong các ứng dụng thực tế, việc hiệu chỉnh các yếu tố này có thể cần được áp dụng cho pt (1) để đưa ra con số chính xác.

Con lắc vật lý

Bất kỳ hệ vật rắn nào xoay tự do quanh một trục ngang cố định được gọi là con lắc hỗn hợp hoặc con lắc vật lý. Độ dài tương đương thích hợp L để tính chu kỳ của bất kỳ một con lắc nào như vậy là khoảng cách từ trục đến tâm dao động. Điểm này nằm dưới khối tâm và khoảng các giữa điểm treo cố định và nó được gọi là bán kính dao động, phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng của con lắc. Nếu phần lớn khối lượng tập trung trong vào một quả nặng tương đối nhỏ so với chiều dài con lắc, tâm dao động gần với khối tâm.

Bán kính dao động hoặc độ dài tương đương L của bất kỳ con lắc vật lý có thể được biểu diễn như sau

$L={\frac {I}{mR}}$

trong đó $I\;$ là mômen quán tính của con lắc theo điểm treo, $m\;$ là khối lượng của con lắc và $R\;$ là khoảng cách giữa điểm treo và khối tâm. Thay biểu thức này vào pt (1) nêu trên, khoảng thời gian $T\;$ của một con lắc hỗn hợp được cho sẽ là

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgR}}}$

cho dao động đủ nhỏ.

Ví dụ: một thanh đồng nhất cứng có chiều dài $L\;$ xoay quanh một đầu có mômen quán tính $I=mL^{2}/3\;$. Khối tâm nằm ở trung tâm của thanh, vì vậy $R=L/2\;$ Thay thế các giá trị này vào phương trình trên sẽ cho $T=2\pi {\sqrt {2L/3g}}\;$. Điều này chứng tỏ rằng một con lắc rắn có cùng chu kỳ với một con lắc đơn có chiều dài bằng 2/3 của nó.

Christiaan Huygens đã chứng minh vào năm 1673 rằng điểm treo và tâm dao động có thể thay thế cho nhau. Điều này có nghĩa là nếu bất kỳ con lắc nào bị đảo lộn và vung lên từ một trục nằm ở tâm dao động trước đó, nó sẽ có cùng chu kỳ như trước và tâm dao động mới sẽ ở điểm treo cũ. Năm 1817 Henry Kater đã sử dụng ý tưởng này để sản xuất một loại con lắc có thể đảo ngược, hiện được gọi là con lắc Kater, để cải thiện các phép đo gia tốc do trọng lực.

Lịch sử

Một trong những công dụng sớm nhất của con lắc là thiết bị đo địa chấn vào thế kỷ I được sáng chế bởi Trương Hành, một người Trung Quốc thời nhà Hán.[18] Cơ chế hoạt động của nó gồm một con lắc lắc lư bên trong và kích hoạt một trong những đòn bẩy sau khi có cơn động đất.[19] Đòn bẩy bị kích hoạt, một quả bóng nhỏ sẽ rơi ra khỏi thiết bị hình chiếc bình vào một trong tám miệng con cóc kim loại bên dưới, được đặt tại tám điểm của la bàn, biểu thị hướng của trận động đất.[19]

Nhiều nguồn [20] [21] [22] [23] cho rằng nhà thiên văn học Ai Cập thế kỷ thứ 10 Ibn Yunus đã sử dụng một con lắc để đo thời gian, nhưng đây là một sai lầm bắt nguồn từ năm 1684 bởi nhà sử học người Anh Edward Bernard. [24] [25] [26]

Trong thời Phục hưng, các con lắc được bơm bằng tay lớn đã được sử dụng làm nguồn năng lượng cho các máy đối ứng thủ công như cưa, ống thổi và bơm.[27] Leonardo da Vinci đã thực hiện nhiều bản vẽ về chuyển động của con lắc, mặc dù ông không nhận ra nó rất hữu ích trong việc đo thời gian.

1602: Nhiên cứu của Galileo

Nhà khoa học người Ý Galileo Galilei là người đầu tiên nghiên cứu các tính chất của con lắc, bắt đầu vào khoảng năm 1602. [28] Báo cáo sớm nhất về nghiên cứu của ông có được nhắc đến trong một bức thư gửi Guido Ubaldo dal Monte, từ Padua, ngày 29 tháng 11 năm 1602.[29] Nhà viết tiểu sử và học trò của ông, Vincenzo Viviani, tuyên bố rằng sự quan tâm của ông đến con lắc được khơi dậy vào khoảng năm 1582 bởi chuyển động lắc lư của một chiếc đèn chùm trong Nhà thờ Pisa.[30][31] Galileo đã khám phá ra tính chất quan trọng làm cho con lắc trở nên hữu ích trong việc đo thời gian, được gọi là tính đẳng thời; chu kì của con lắc xấp xỉ độc lập với biên độ và chiều rộng của dao động.[32] Ông cũng nhận thấy rằng khoảng thời gian này không phụ thuộc vào khối lượng của quả nặng và tỷ lệ với căn bậc hai chiều dài con lắc. Ông sử dụng các con lắc tự do trong các ứng dụng đo thời gian đơn giản. Người bạn bác sĩ của ông, Santorio Santorii, đã phát minh ra một thiết bị đo nhịp tim của bệnh nhân bằng chiều dài của một con lắc; gọi là pulsilogium.[28] Năm 1641, Galileo đã nảy ra ý tưởng và ra lệnh cho con trai của mình là Vincenzo, một thiết kế cho đồng hồ quả lắc;[32] Vincenzo bắt đầu chế tạo thứ này, nhưng chưa kịp hoàn thành nó thì ông đã qua đời vào năm 1649.[33] Con lắc là cơ cấu dao động điều hòa đầu tiên được con người sử dụng.[32]

1656: Đồng hồ quả lắc

Đồng hồ quả lắc đầu tiên

Năm 1656, nhà khoa học người Hà Lan Christiaan Huygens đã chế tác chiếc đồng hồ quả lắc đầu tiên.[34] Đây là một cải tiến lớn so với đồng hồ cơ thời bấy giờ; độ lệch thời gian nhỏ nhất của chúng được cải thiện từ khoảng 15 phút mỗi ngày thành khoảng 15 giây mỗi ngày.[35] Các con lắc lan rộng khắp châu Âu khi các đồng hồ hiện có được trang bị thêm. [36]

Nhà khoa học người Anh Robert Hooke đã nghiên cứu con lắc hình nón vào khoảng năm 1666, bao gồm một con lắc có thể tự do lắc theo hai chiều, với quả nặng vẽ ra quỹ đạo hình tròn hoặc hình ê-líp.[37] Ông đã sử dụng các chuyển động của thiết bị này như một mô hình để phân tích chuyển động quỹ đạo của các hành tinh.[38] Hooke đề nghị với Isaac Newton vào năm 1679 rằng các thành phần của chuyển động quỹ đạo bao gồm chuyển động quán tính dọc theo hướng tiếp tuyến cộng với chuyển động hấp dẫn theo hướng xuyên tâm. Điều này đóng góp một phần trong công thức của Newton về định luật vạn vật hấp dẫn. [39][40] Robert Hooke cũng chịu trách nhiệm đề xuất sớm nhất là vào năm 1666, rằng con lắc có thể được sử dụng để đo lực hấp dẫn. [37]

Trong chuyến thám hiểm tới Cayenne, Guiana thuộc Pháp năm 1671, Jean Richer phát hiện ra rằng đồng hồ quả lắc chậm hơn 2 phút rưỡi mỗi ngày tại Cayenne so với tại Paris. Từ đó, ông suy luận rằng lực hấp dẫn ở Cayenne yếu hơn.[41][42] Vào năm 1687, Isaac Newton trong cuốn Princia Mathematica đã chỉ ra rằng đó là do Trái đất không phải là một hình cầu thực sự mà có phần dẹt lại (dẹt ở hai cực) do tác dụng của lực ly tâm tạo ra bởi sự tự quay của chính nó, khiến lực hấp dẫn tăng theo vĩ độ.[43] Các con lắc di động tiện lợi bắt đầu được các nhà thám hiểm mang theo trong các chuyến đi đến những vùng đất xa xôi, như các thước đo chính xác để xác định gia tốc trọng trường tại những nơi khác nhau trên Trái đất, cuối cùng tạo ra các mô hình chính xác về hình dạng của Trái đất.

1673: Bãi Chung Luận (Horologium Oscillatorium) của Huygens

Năm 1673, 17 năm sau khi ông phát minh ra đồng hồ quả lắc, Christiaan Huygens đã công bố lý thuyết về con lắc trong cuốn, Horologium Oscillatorium sive de motu Pendulorum.[45][46] Marin Mersenne và René Descartes đã phát hiện ra vào khoảng năm 1636 rằng con lắc không hoàn toàn đẳng thời; chu kỳ của nó tăng lên một chút với biên độ của nó.[47] Huygens đã phân tích vấn đề này bằng cách xác định một đường cong mà một vật phải đi theo để hạ xuống theo trọng lực đến cùng một điểm trong cùng một khoảng thời gian, bất kể điểm bắt đầu; đường cong đó chính là đường tautochrone. Bằng một phương pháp phức tạp gần giống với phép vi phân, ông đã chứng minh đường cong này là một cycloid, chứ không phải là cung tròn vệt ra bởi một con lắc,[48] xác nhận rằng con lắc không phải là đẳng thời và quan sát về đẳng tích của Galile chỉ chính xác đối với dao động nhỏ [49] Huygens cũng giải quyết vấn đề làm thế nào để tính chu kỳ của một con lắc có hình dạng tùy ý (gọi là con lắc vật lý), khám phá ra tâm dao động và khả năng hoán đổi của nó với điểm treo.[50]

1721: Con lắc bố chính nhiệt độ

Con lắc Foucault năm 1851 là mô phỏng chuyển động quay của Trái Đất đầu tiên không dựa vào các quan sát thiên văn học, và nó còn tạo ra một "cơn sốt con lắc". Trong hoạt hình này, chuyển động tuế sai được phóng đại.

Trong thế kỷ 18 và 19, vai trò của đồng hồ quả lắc chính xác nhất đã thúc đẩy nhiều nghiên cứu thực tế trong việc cải tiến con lắc. Người ta đã thấy một lỗi lớn là dây con lắc giãn nở và co lại dựa theo nhiệt độ môi trường, thay đổi chu kỳ xoay.[8][55] Điều này đã được giải quyết với việc phát minh ra các con lắc bố chính nhiệt độ, con lắc thủy ngân năm 1721[56] và con lắc Gridiron năm 1726, giảm sai số trong đồng hồ quả lắc chính xác xuống vài giây mỗi tuần.[53]

Độ chính xác của các phép đo trọng lực được thực hiện với con lắc bị hạn chế bởi khó khăn trong việc tìm vị trí tâm dao động của chúng. Huygens đã phát hiện ra vào năm 1673 rằng một con lắc có cùng chu kỳ khi được treo từ tâm dao động của nó và khi được treo ở điểm trục của nó,[17] và khoảng cách giữa hai điểm bằng với chiều dài của một con lắc đơn cùng chu kỳ.[14] Năm 1818, Thuyền trưởng Henry Kater người Anh đã phát minh ra con lắc Kater có thể đảo ngược [57] sử dụng nguyên lý này, thực hiện các phép đo trọng lực rất chính xác. Trong thế kỷ tiếp theo, con lắc đảo ngược là phương pháp tiêu chuẩn để đo gia tốc trọng trường tuyệt đối.

1851: Con lắc Foucault

Năm 1851, Jean Bernard Léon Foucault đã chỉ ra rằng mặt phẳng dao động của một con lắc, giống như con quay hồi chuyển, có xu hướng không đổi bất kể chuyển động của trục, và điều này có thể được sử dụng để chứng minh sự tự quay của Trái đất. Ông đã treo một con lắc tự do đu theo hai chiều (sau này được đặt tên là con lắc Foucault) từ mái vòm của Điện Panthéon ở Paris. Chiều dài của dây là 67m (220 ft). Khi con lắc được cho chuyển động, mặt phẳng xoay được quan sát thấy tiến động hoặc quay 360° theo chiều kim đồng hồ trong vòng 32 giờ. Đây là minh chứng đầu tiên về sự quay của Trái đất không phụ thuộc vào các quan sát thiên thể, và một "cơn sốt con lắc" đã nổ ra, con lắc Foucault sau đó được trưng bày ở nhiều thành phố và thu hút đông khác tham quan.

1930: Sụt giảm trong sử dụng

Khoảng 1900 vật liệu giãn nở nhiệt thấp bắt đầu được sử dụng cho dây con lắc trong đồng hồ có độ chính xác cao nhất và các dụng cụ khác, invar đầu tiên, một hợp kim thép niken, và sau này là thạch anh nung chảy, làm cho việc phải bố chính nhiệt độ trở nên tào lao. Các con lắc chính xác được đặt trong các bể áp suất thấp, giữ cho áp suất không khí không đổi để ngăn biến động trong chu kỳ do thay đổi độ nổi của con lắc do thay đổi áp suất khí quyển. Đồng hồ quả lắc tốt nhất đạt được độ sai số khoảng một giây mỗi năm.

Độ chính xác về thời gian của con lắc bị vượt mặt bởi bộ dao động tinh thể thạch anh, được phát minh vào năm 1921 và đồng hồ thạch anh, được phát minh vào năm 1927, thay thế đồng hồ quả lắc và trở thành máy đo thời gian tốt nhất thế giới.[2] Đồng hồ quả lắc được sử dụng làm tiêu chuẩn tính giờ cho đến Thế chiến 2, mặc dù Dịch vụ thời gian của Pháp tiếp tục sử dụng chúng làm tiêu chuẩn thời gian chính thức cho đến năm 1954.[65] Trong lực kế con lắc đã được thay thế bằng các trọng lực kế "rơi tự do" vào những năm 1950, Pendulum gravimeters were superseded by "free fall" gravimeters in the 1950s, nhưng các dụng cụ gồm con lắc vẫn tiếp tục được sử dụng vào những năm 1970.

Các đồng hồ quả lắc

Đồng hồ quả lắc to đứng (Đồng hộ ông nội)

Quả lắc được trang tri bên trong đồng hồ Comtoise Pháp

Con lắc thủy ngân

Con lắc Gridiron

Con lắc Ellicott, một loại con lắc bố chính nhiệt độ

Con lắc invar trong bình chứa áp suất thấp của đồng hồ điều tiết Riefler, tiêu chuẩn đo thời gian ở Hoa Kỳ từ 1909 đến 1929

Đọc thêm

• G. L. Baker and J. A. Blackburn (2009). The Pendulum: A Case Study in Physics (Oxford University Press).
• M. Gitterman (2010). The Chaotic Pendulum (World Scientific).
• Michael R. Matthews, Arthur Stinner, Colin F. Gauld (2005)The Pendulum: Scientific, Historical, Philosophical and Educational Perspectives, Springer
• Michael R. Matthews, Colin Gauld and Arthur Stinner (2005) The Pendulum: Its Place in Science, Culture and Pedagogy. Science & Education, 13, 261-277.
• Matthys, Robert J. (2004). Accurate Pendulum Clocks. UK: Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-852971-6.
• Nelson, Robert (tháng 2 năm 1986). “The pendulum – Rich physics from a simple system” (PDF). American Journal of Physics. 54 (2): 112–121. Bibcode:1986AmJPh..54..112N. doi:10.1119/1.14703. Truy cập ngày 29 tháng 10 năm 2008.
• L. P. Pook (2011). Understanding Pendulums: A Brief Introduction (Springer).

Liên kết ngoài

• NAWCC National Association of Watch & Clock Collectors Museum
• Graphical derivation of the time period for a simple pendulum
• A more general explanation of pendula
• Web-based calculator of pendulum properties from numerical inputs
• An animated and interactive rigid pendulum model in MS Excel